Logaritmy a věty o logaritmech

Transkript

1 Variace 1 Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na

2 1. Logaritmy Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a 1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: log a x = y x = a y [Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a 1 je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je, při základu větším než jedna, kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna (ale většího než nula), je při základu větším než jedna, záporný. Je-li základ logaritmu větší než nula a menší než jedna, pak je logaritmus z čísla většího než jedna záporný, zatímco logaritmus z čísla patřícího do otevřeného intervalu (0; 1) je číslo kladné. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený. Příklad 1: Vypočtěte log 5 25 Řešení: 2

3 Podle definice převedeme na výpočet 25 = 5 y Odtud snadno zjistíme, že y = 2 Příklad 2: Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí log z 216 = 3 Řešení Podle definice převedeme na výpočet z 3 = 216 Protože platí 216 = 6 3, pak z 3 = 6 3 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet log 0,1 x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = Výpočty logaritmů - procvičovací příklady 1. Stanovte číslo x, platí-li: log 5 x = Pro který základ z platí: log z n = n? Pro který základ z platí: log z 3 = 3? Stanovte číslo x, platí-li: log 1/2 x = Vypočtěte log ,25 6. Stanovte číslo x, platí-li log 1/10 x = Vypočtěte log , Vypočtěte log 2 2 0,5 9. Určete hodnotu výrazu x: x = log 2 log Vypočtěte log ,

4 11. Vypočtěte základ z, jestliže: Vypočtěte základ z, jestliže: Pro který základ z platí: /3 14. Vypočtěte log ,5 15. Vypočtěte základ z, jestliže: ,2 16. Stanovte číslo x, platí-li: log 2 x = Stanovte číslo x, platí-li log 10 x = -1 0,1 18. Vypočtěte hodnotu výrazu x: x = log Vypočtěte log ,5 20. Vypočtěte log 2 (log 3 81) Vypočtěte základ z, jestliže: /3 22. Pro který základ z platí:

5 23. Pro který základ z platí: log z 216 = 3? Vypočtěte log , Určete log 4 (log 4 4) Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: log a x = y (1) Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (log a x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. 1. Nelze logaritmovat součet log z (a + b) log z a + log z b 2. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů (= 1. věta o logaritmování) Důkaz: vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z 1 Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: log z ab = log z a + log z b Např.: 5

6 3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele (= 2. věta o logaritmování) Důkaz: vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z 1 Např.: 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny (= 3. věta o logaritmování) Důkaz: log z a n = n. log z a Např.: 6

7 4. Věty o logaritmech - procvičovací příklady 1. Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: 1840 Řešte pro přípustné hodnoty. 2. Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: log z x = 2. log z (a - 2) + 3. log z (a + 2) - 2. log z (a 2-4) Uveďte i podmínky řešitelnosti. x = a + 2 a > 2, z > 0, z 1 3. Určete log z x, je-li x = a 1/2. b 2/ Určete log z x, je-li: Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: 1836 Uveďte i podmínky řešitelnosti. a > 0, b > 0, z > 0, z 1 7

8 6. Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: log z x = 3. log z a + (n + 3). log z b a > 0, b > 0, z > 0, z 1 7. Určete log z x, je-li: x = 3m -1. n -2. r log z 3 - log z m - 2. log z n + log z r; m > 0, n > 0, r > 0, z > 0, z 1 8. Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: a > 0, b > 0, z > 0, z 1, m N 9. Určete log z x, je-li: Určete log z x, je-li Pro přípustné hodnoty určete log z x, je-li Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: log z x = 3. log z a + 2. log z b + 1 x = a 3.b 2.z; a > 0, b > 0, z > 0, z

9 13. Vypočtěte A, jestliže platí: Z dané rovnosti určete A a udejte existenční podmínky: Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: log z x = log z a + log z b + log z c x = abc; a > 0, b > 0, c > 0, z > 0, z Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: Uveďte i podmínky řešitelnosti. a > 0, b > 0, a > b, z > 0, z Určete log z x, je-li log z a - 0,5. log z b; a > 0, b > 0, z > 0, z 18. Určete log z x, je-li: Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: log z x = log z a + log z b - log z c x = ab/c; a > 0, b > 0, c > 0, z > 0, z

10 20. Určete log z x, je-li Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: 1839 Řešte pro přípustné hodnoty. 22. Určete log z x, je-li x = a -2. b log z a - 3. log z b; a > 0, b > 0, z > 0, z Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: Uveďte i podmínky řešitelnosti. a > 0, b > 0, c > 0, z > 0, z Určete log z x, je-li: x = 3a -2. b log z 3-2. log z a + 0,5. log z b; a > 0, b > 0, z > 0, z Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: log z x = m. log z n + n. log z m - log z n - log z m x= m n-1. n m-1 ; m > 0, n > 0, z > 0, z

11 Obsah 1. Logaritmy 2. Výpočty logaritmů - procvičovací příklady 3. Věty o logaritmech 4. Věty o logaritmech - procvičovací příklady