Dů kazové úlohy. Jiří Vaníček

Transkript

1 Dů kazové úlohy Jiří Vaníček Následující série ú loh je koncipována tak, ž e student nejprve podle předem daného konstrukčního postupu sestrojí konstrukci a v ní podle návodu objeví některý nový poznatek. Ten nejprve otestuje manipulací a dalšími nástroji programu, poté se však po něm žádá, aby doká zal tvrzení standardními dokazovacími prostředky. Při důkazu mu počítač opět můž e pomoci jako experimentá lní prostředí pro tvorbu hypotéz. Ú loha: Parabola Konstruujte podle postupu: 1. V mříž ovém bodě [0;-1] sestrojte bod A. Na ose x zvolte libovolný bod X 2. Bodem X veď te kolmici na ú sečku AX 3. Průsečík této kolmice s osou y nazvěte Y. 4. Body X, Y veď te kolmice na osy x,y, jejich průsečík nazvěte S. 5. Vytvořte stopu (množ inu) bodu S při pohybu bodu X. (obr. qq) Z obrázku je patrné, ž e bod S svým pohybem generuje parabolu s předpisem y = x 2. Dokaž te, ž e y-ová souřadnice bodu S je druhou mocninou jeho x-ové souřadnice. Ú loha: Obsah pravoúhlého trojúhelníka měření, výpočty 1. Sestrojte libovolný pravoú hlý trojú helník ABC s přeponou AB (jedna mož nost: A zobrazte osy, vyberte nástroj Mnohoú helník, bod A volte T libovolně na ose x, bod B na B O ose y a bod C v průsečíku os) 2. K trojú helníku sestrojte kruž nici vepsanou C obr. qq - Obsah pravoú hlého trojú helníka se rovná součinu ú seků přepony daných tečným bodem vepsané kruž nice.

2 3. Sestrojte tečný bod T kruž nice na přeponě trojú helníka 4. Změřte vzdálenosti AT, BT 5. Vyberte nástroj Výpočty, vyná sobte změřené hodnoty mezi sebou, výsledek vytáhněte na rýsovací plochu 6. Změřte obsah trojú helníka 7. Pohybujte vrcholy A, B Obsah pravoú hlého trojú helníka se rovná souč inu ú seků př epony daných teč ným bodem vepsané kružnice. Ú loha: Obsah těžnicové ho trojú helníka naná šenívzdá lenosti, kružítko, výpočty 1. Sestrojte obecný trojú helník ABC a jeho těž nice ta, tb, tc 2. Z těchto těž nic sestrojte nový trojú helník A B C : 2.1 Mimo trojú helník ABC sestrojte polopřímku B C 2.2 Změřte délku těž nice ta a naneste ji na polopřímku, vznikne ú sečka 2.3 Použ ijte kružítko k sestrojení dvou kruž nic k(b ;tc), k (C ;tb) 2.4 Průsečík k průnik k je hledaný vrchol A 3. Změřte obsahy obou trojú helníků (u trojú helníku A B C je třeba nejprvee vyznačit jej nástrojem Mnohoú helník) 4. Vyberte Výpočty a obsah trojú helníka ABC vynásobte 3 5. Obsah trojú helníka A B C vynásobte 4 6. Pohybujte vrcholy trojú helníka ABC Obsahy trojú helníka a jemu odpovídajícího těžnicového trojú helníka jsou v poměru 4:3.

3 Ú loha: Ptolemaiova věta měření, výpočty 1. Sestrojte kruž nici a na ní čtyři body A, B, C, D 2. Tyto čtyři body spojte navzájem všemi mož nými ú sečkami. Dostanete 4 strany a 2 ú hlopříčky tětivového čtyřú helníka ABCD 3. Změřte délky stran čtyřú helníka 4. Vyberte Výpočty a vyná sobte mezi sebou délky vž dy dvou protilehlých stran 5. Tyto dva součiny sečtěte (výsledky vždy vytá hněte na rýsovací plochu) a výsledek popište "strany" 6. Změřte délky ú hlopříček čtyřú helníka ABCD a vyná sobte je mezi sebou. Výsledek popište "ú hlopříčky" 7. Pohybujte body A, B, C, D tak, abyste zachovávvali pořadí bodů A, B, C, D na kruž nici. POzorujte přitom čísla "strany" a "ú hlopříčky" V tětivovém čtyřúhelníku ABCD platívztah ac + bd = ef, jsou-li a, b, c, d strany a e, f ú hlopříčky čtyřúhelníka Trojice úloh na sebe navazujících: I. Přilehlá kruž nice trojú helníka II. Makro "Přilehlá kruž nice" IIIa. Poloměr přilehlé kruž nice IIIb. Obsah trojú helníka z přilehlých kruž nic

4 I. Přilehlá kružnice trojú helníka stejnolehlost, makro 1. Sestrojte trojú helník ABC (nejprve vytvořte body A, B, C a teprve poté jimi prolož te trojú helník) 2. Sestrojte osu ú hlu BAC 3. Najděte průsečík K osy s protější stranou trojú heelníka 4. Sestrojte kolmici na stranu AC z bodu K a její průsečík L se stranou AC. 5. Sestrojte kruž nici k(k;kl) 6. Sestrojte průsečík M kruž nice k s osou ú hlu BAC (ten bližší k bodu A) 7. Změřte vzdálenosti AK, AM 8. Vyberte Výpočty a vypočtěte poměr AK : AM. Výsledek vytá hněte na pracovní plochu a popište jej "poměr" 9. Vyberte nástroj Stejnolehlost a zobrazte kruž nici k ve stejnolehlosti se středem A a poměrem daným čá slem "poměr" (postupně klepejte myší na tyto objekty). Vzniklý obraz kruž nice k je hledaná přilehlá kruž nice 10. Sestrojte přímku AC a změřte vzdá lenost středu připsané kruž nice od této přímky (toto číslo označte "r". 11. Pohybujte vrcholy A, B, C II. Makro "Přilehlá konstrukce" makro 1. Vyjděte z předchozí konstrukce ú lohy I, která k trojú helníku sestrojila přilehlou kruž nici B, C. 2. Vyberte nástroj Vstupní objekty (sloupec C3) a označte postupně body A, 3. Vyberte nástroj Výstupní objekty a označte přilehlou kruž nici a číslo "r".

5 4. Vyberte nástroj Název, nápověda a do názvu makra zapište "Přilehlá kruž nice". 5. Do hlášení prvního výstupního objektu zapište "přilehlá kruž nice" 6. Do nápovědy napište "označte postupně tři vrcholy trojú helníka proti směru hodinových ručiček". Můž ete změnit tvar ikony. 7. Zaškrtněte volbu Ulož it do souboru a makro ulož te (pod názvem např. "prilkruz.mac") 8. Nové makro vyzkoušejte na novém obrázku (sestrojte trojú helník a nástroj Přilehlá kruž nice najdete ve sloupci C3) IIIa. Poloměr přilehlé kružnice použitímakra, výpočty, měření 1. Sestrojte trojú helník 2. Pomocí makra Kruž nice připsaná (vytvořeno v minulé ú loze, sloupec C3) vytvořte kruž nici připsanou (není-li polož ka makra viditelná ve sloupci C3, např. při příštím spuštění Cabri, je třeba otevřít soubor "prilkruz.mac") 3. Změřte obvod a obsah trojú helníka. 4. Vyberte nástroj Výpočty a vypočtěte polovinu obvodu trojú helníka - číslo vytáhněte na plochu a popište "s" 5. Změřte délku strany trojú helníka, která se dotýká připsané kruž nice (číslo popište "a") 6. Vypočtěte hodnotu zlomku, v jehož čitateli bude obsah trojú helníka a ve jmenovateli rozdíl čísel s - a. 7. Porovnejte výsledek s poloměrem r připsané kruž nice. Pohybujte vrcholy trojú helníka. Poloměr kružnice připsané ρ a = S s a, kde s je polovina obvodu trojú helníka.

6 IIIb. Obsah trojú helníka z poloměrů přilehlých kružnic výpočet odmocniny, vícená sobné použitímakra 1. sestrojte trojú helník 2. Pomocí makra Kruž nice připsaná (sloupec C3) vytvořte kruž nici připsanou (není-li polož ka makra viditelná ve sloupci C3, např. při příštím spuštění Cabri, je třeba otevřít soubor "prilkruz.mac" nebo makro vytvořit v ú lohách I a II) 3. kombinací tří bodů zadání vytvořte pomocí maker tři kruž nice připsané (vstupní vrcholy trojú helníka pro makro je nutno označovat proti směru hodinových ručiček) 4. sestrojte kruž nici trojú helníku vepsanou a změřte její poloměr (s výhodou lze použ ít makra Přilehlá kruž nice, ovšem zadat vstupní tři vrcholy po směru hodinových ručiček) 5. Vyberte Výpočty a vynásobte mezi sebou poloměry všech čtyř kruž nic 6. Vypočtěte odmocninu z vypočítaného součinu (tlačítko SQRT na kalkulačce) a výsledek označte "obsah" 7. Změřte obsah trojú helníka a porovnejte s číslem "obsah". Pohybujte vrcholy trojú helníka. Obsah trojú helníka S = ρ. ρa. ρb. ρc, kde r= poloměr kružnice vepsané, r i = poloměry kružnic př ipsaných.