Klasifikace, identifikace a statistická analýza nestacionárních náhodných procesů

Transkript

1 Proceedings of Inernaional Scienific Conference of FME Session 4: Auomaion Conrol and Applied Informaics Paper 26 Klasifikace, idenifikace a saisická analýza nesacionárních náhodných procesů MORÁVKA, Jan Ing., Ph.D., TŘINECKÉ ŽELEZÁRNY inženýring, a.s., Sředisko elekro, MaR a ASŘ, Třinec, jan.moravka@rz.cz, hp:// Absrak: V ekonomické i echnologické praxi se časo sekáváme s nesacionárními náhodnými procesy. Pro korekní analýzu da ěcho procesů je řeba zná moderní výsledky a meody, keré umožňují správnou klasifikaci, idenifikaci a saisickou analýzu. V opačném případě dochází k různým problémům a chybám, mezi něž zejména paří jev zdánlivé korelace. Mezi moderní výsledky paří klasifikace procesů na ypy DS/TS, esování zv. jednokových kořenů, koinegrace a korendová analýza nesacionárních časových řad. Klíčová slova: nesacionární náhodné procesy ypu DS/TS, zdánlivá korelace, klasifikace, idenifikace, saisická analýza Úvod Nesacionární náhodné procesy (časové řady) se poměrně hojně vyskyují jak v ekonomických sysémech [CIPRA, T. 986], [ARLT, J. 999], ak i v sysémech echnologických. V echnologii yo procesy vznikají hlavně jako výsupy inegračních sousav, j. zásobníků, nádrží, homogenizačních hromad, skládek apod. [MORÁVKA, J. 999]. Pro korekní saisickou analýzu nesacionárních náhodných procesů (klasifikace, idenifikace, zjišťování závislosí, regresní analýza) je řeba zná moderní meody [ARLT, J. 999]. Regresní analýza s nesacionárními veličinami naráží na známý jev (problém) zv. zdánlivé korelace [SWOBODA, H. 977], [SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S. 998]. Pro sysémy obsahující nesacionární procesy byl pro odlišení zdánlivých vazeb zaveden pojem koinegrace [JOHANSEN, S. 997], [BIERENS, H. 999a], [ARLT, J. 999]. Pro definování nelineárních vazeb mezi nesacionárními veličinami byla rozpracována zv. korendová analýza [BIERENS, H. 999b]. 2 Klasifikace nesacionárních signálů V lierauře jsou nesacionární procesy definovány jako procesy u kerých se s časem mění jejich charakerisiky. a 2.řádu, j. sřední hodnoa, rozpyl, auokovariance i auokorelace (a ím i spekrum). V eorii i praxi se nejčasěji uvažují dvě skupiny nesacionárních procesů - s proměnlivou sřední hodnoou a s proměnlivým rozpylem, auokovariancí a auokorelací. Podle erminologie Box-Jenkinsovy meodologie jsou nesacionární procesy označovány jako ARIMA AuoRegressive Inegraed Moving Average [CIPRA, T. 986], [LJUNG, L. 987], [TŮMA, J. 998], [ARLT, J. 999]. Z hlediska hlubší saisické analýzy je však nuné nesacionární procesy rozděli na procesy DS diferenčně sacionární a TS rendově sacionární [ARLT, J. 999]. V ab. jsou přehledně uvedeny jejich vlasnosi, označení a rozdíly. DS proces lze sacionarizova diferencováním, TS proces očišěním od deerminisického rendu. V běžné lierauře přiom není definováno kriérium volby způsobu sacionarizace [LJUNG, L. 987], [TŮMA, J. 998], což nakonec vede na nejednoznačnou a heurisickou volbu.

2 Tab.. Základní klasifikace nesacionárních procesů Nesacionaria Proces Inegrovaný Jiné Běžné Box-Jenkins proces označení označení v rozpylu, I(d) ARIMA(p,d,q) auokovarianci a DS AR() : ϕ = náhodná drif I() auokorelaci ARIMA(,,) procházka ve sřední TS I()+MA() ARIMA(,,) rend hodnoě U procesů ARIMA(p,d,q) ~ I(d), kde d znamená řád diferencování procesu. Odhad ohoo řádu lze získa buď esováním posupně diferencované řady na bílý šum pomocí ACF/PACF [ARLT, J. 999], nebo hledáním minimálního rozpylu éo řady [CIPRA, T. 986]. Náhodná procházka je mezním případem procesu AR() s koeficienem auoregrese ϕ =. Pro nulové počáeční podmínky v čase = je aké označována jako Brownův, či Wienerův proces [TŮMA, J. 998]. Inegrované procesy ypu I() voří procesy AR(p), MA(q), ARMA(p,q) a proces bílého šumu (BŠ), j. AR() = ARMA(,). Modely (diferenční rovnice) nesacionárních procesů DS / TS včeně diferenčních rovnic jejich prvních zpěných diferencí a rovnic procesů s odsraněným lineárním rendem (T ) mají následující var: DS procesy! náhodná procházka s konsanou ~ I() X = c + X + ε, X = = X, () X = c + ϕ X + ε, X = = X ~ AR() : ϕ =, (2) X = X + c + ε, (3) i i = = X X = c + ε ~ bílý šum N( c, σ ε X ), (4) (5) X T = X ( X + c) = ε ~ zv sochasický rend. X X i. i=! proces ARIMA(p,d,q) ~ I(d) = δ + X + ψ ( B) ε, X = X, (6) (7) = X + δ + ψ B ε, = ( ) i i= X = δ +ψ ( B) ε ~ ARMA( p, q), (8) (9) X T = X ( X + δ ) = ψ ( B) ε ~ I ( ). i d i= TS procesy! TS proces s lineárním rendem ~ I() + MA() X = a + b + ε, X = = X = a, () X = X X = b + ε ε = b + ε ~ MA() () X = b + X + ε ε ~ I () + MA() / ARIMA(,,), (2) X T = X a + b) ε ~ bílý šum N(, σ ). (3) ( = ε

3 3 Idenifikace nesacionárních signálů Idenifikaci nesacionárních signálů je možné provés jak pomocí klasické analýzy časových řad, ak jejími moderními meodami prosřednicvím esů zv. jednokových kořenů. 3. Idenifikace pomocí klasické analýzy časových řad Ze srovnání rovnic diferencí procesů a rovnic procesů s odsraněným lineárním rendem je zřejmé, že pro idenifikaci jejich ypů lze použí Box-Jenkinsovu meodologii (ACF, PACF a idenifikační body [CIPRA, T. 986]). Pro názornos byly v programu Malab vygenerovány procesy xds (ypu DS / I() náhodná procházka) a xs (ypu TS) s paramery: n=, seed=2345, σ =, pro xds plaí: xds=5, c=.5 a pro xs je a=5, b=.6 obr.. ε 6 xds xs Obr.. Průběhy nesacionárních procesů xds() a xs() (čárkovaně) Jenom vizuálním posouzením zřejmě nebude možné rozliši oba ypy procesů. Po provedení Box-Jenkinsovy idenifikace původních hodno, jejich diferencí (funkce diff) a rendově očišěných hodno procesů (funkce derend) dosaneme výsledky (ab.2-sagraphics) a algorimus (obr.2) korespondující s dříve odvozenými vzahy. Tab. 2. Základní klasifikace generovaných nesacionárních procesů xds() a xs() Procesy Hodnoy Model Závěr původní xds AR() / I() xs AR() / I() procesy nelze rozliši! diferencované diff xds bílý šum (BŠ) diff xs MA() xds je DS / I() proces očišěné od lineárního derend xds AR() / I() rendu (T ) derend xs bílý šum (BŠ) xs je TS proces

4 TS Z TS Z X = X - X - ex = X - T ACF, PACF ACF, PACF DS / I() + - X = BŠ? MA() TS AR() / I() - ex = BŠ? + TS K K Obr. 2. Algorimy určení ypů procesů pomocí analýzy časových řad Pozn.: Rozlišení modelů AR() a I() umožňují až zv. esy jednokových kořenů (esují hypoézu H : ϕ = ). Závěr: Na základě výsledků a uvedených vzahů lze edy jednoznačně uskuečni základní idenifikaci nesacionárních procesů na procesy DS a TS včeně jejich zařazení do podskupin inegrovaných procesů I(), I() a I(d). 3.2 Idenifikace pomocí esů zv. jednokových kořenů Idenifikaci a rozdělení nesacionárních procesů lze provés pomocí esů zv. jednokových kořenů (uni-roos) [ARLT, J. 999]. Tesy vycházejí z diferenční rovnice modelu AR() a esují H, zda auoregresní koeficien. řádu ϕ =. V případě nezamínuí éo nulové hypoézy jde o proces ypu DS / I(), při jejím zamínuí je proces TS viz obr. 3. TS Z Tesy jedn. kořenů DS + - H? TS K Obr. 3. Algorimus určení procesů DS/TS pomocí esů jednokových kořenů 3.2. Nesacionární procesy ypu DS / I() Tyo procesy jsou nejčasěji chápány jako inegrované procesy. řádu I() a jsou popsány modelem, či procesem zv. náhodné procházky (random walk process) s konsanou: X = c + X + ε, X = = X. (4) Jako příklad pro esování jednokových kořenů použijeme 2 procesy x() a x2() viz obr. 4, keré byly vygenerovány v programu Malab s paramery: n=, seed=2345, σ ε =, x=x2= 5, c= pro x() a c=.5 pro x2().

5 )! *+,-./ &96:4/+,;6<&8-9=6<"8-9 $! (! #! '! "! &!!! "! #! $! %! &!! Obr. 4. Průběhy nesacionárních I()/DS procesů x() a x2() (horní graf) Z obrázku lze vidě, že proces x2() má na pohled spíše charaker TS procesu, zaímco proces x() má éměř sacionární průběh. Objekivní charakerizaci procesů lze provés pouze pomocí esů zv. jednokových kořenů a o esů nesacionariy i sacionariy ab. 3. Tab. 3. Výsledky esů nesacionariy a sacionariy DS procesů (EasyReg) Tesy nesacionariy Tesy sacionariy Proces ADF PP BG KPSS x() > > < <.46 x2() > > < <.46 Pozn.: ADF... Rozšířený (Augmened) Dickey-Fullerův es, PP... Phillips-Perronův neparamerický es, BG.. es auorů Bierens-Guo, KPSS... es auorů Kwiakowski, Phillips, Schmid a Shin. U esů jsou uvedeny esační saisiky a kriické hodnoy pro hladinu významnosi α =.5. Pro esy nesacionariy je nulová hypoéza H : jednokový kořen s drifem, alernaivní hypoéza H : lineární TS proces pro esy sacionariy jsou hypoézy obrácené. Závěr: Z abulky lze vidě, že oba esy sacionariy dávají na uvedené hladině významnosi nesprávné závěry neodhalily DS procesy a považují je za TS. Na hladině významnosi α =. však už správně odmíají nulovou hypoézu Nesacionární procesy ypu TS Tyo procesy jsou popsány jednoduchým modelem s explicině vyjádřeným lineárním rendem: X = a + b + ε, X = = X = a. (5) Je logické, že při regresi s procesy ohoo ypu bude regresorem i proměnná - čas, nebo pořadí (jako relaivní, normovaný čas). Na obr. 5 je uveden příklad TS procesů x() a x2()

6 vygenerovaných v programu Malab s paramery: n=, seed=2345, σ ε =, a=5, b=. pro x() a b=.6 pro x2(). )! *+,-./234256>?6:4/+,;6<&8-9=6<"8-9 $! (! #! '! "! &!!! "! #! $! %! &!! Obr. 5. Průběhy nesacionárních TS procesů x() a x2() (horní graf) Idenifikaci procesů lze uskuečni pomocí esů jednokových kořenů (esů nesacionariy a sacionariy) ab. 4. Tab. 4. Výsledky esů nesacionariy a sacionariy TS procesů (EasyReg) Proces Tesy nesacionariy Tesy sacionariy ADF PP BG KPSS x() -.99 > < < <.46 x2() -.92 > < < <.46 Závěr: Z abulky lze vidě, že pro dané procesy es ADF dává nesprávné závěry neodhalil TS procesy a považuje je za DS. Závěr: Z obou abulek esů DS a TS procesů vyplývá, že nejspolehlivějším esem z uvedených je neparamerický Phillips-Perronův es. 3.3 Důsledky záměny ypů procesů DS/TS Při záměně, nerozlišování, nebo nesprávné idenifikaci ypů nesacionárních procesů DS/TS dochází k určiým nesnázím [ARLT, J. 999]: A. Použiím modelu TS při odsraňování rendu z DS procesu dochází k následujícím vážným problémům a chybám:. Index deerminace R 2 pro DS proces s c = se pohybuje okolo hodnoy.44 bez ohledu na délku časové řady. Pro c se hodnoa R 2 zvyšuje s rosoucí délkou časové řady a dosahuje liminí hodnoy bez ohledu na hodnou konsany, či variabiliy časové řady

7 2. Rezidua získaná z ohoo modelu mají rozpyl v průměru ve výši 4% skuečného 2 rozpylu σ ε a o bez ohledu na hodnou konsany c, či délku časové řady 3. Průměrné hodnoy ACF reziduí jsou funkcí délky časové řady T a hodnoy oscilují s periodou asi (2/3)T, zn. že ao funkce indikuje zdánlivý dlouhý cyklus. Teno výsledek nezávisí na varu ACF procesu ε 4. Pro esování parameru u časové proměnné v modelu TS je -es velmi slabý v 87% případů dojde k zamínuí správné nulové hypoézy b = a v 73% dojde k zamínuí při použií náhodné složky ypu AR(p). B. Použií modelu DS na časovou řadu vořenou procesem TS: V omo případě je siuace podsaně lepší. Odhad parameru c MNČ je nesranný a má přibližně normální (nebo Sudenovo ) rozdělení. Snížení vydanosi ohoo odhadu není vážný problém, pokud je současně modelována auokorelace nesysemaické (náhodné) složky. Závěr: Z uvedeného vyplývá, že očišění obou ypů časových řad diferencováním je univerzálnější a méně nebezpečné, než odsranění rendu. Z ohoo důvodu lze diferencování obecně použí na nesacionární procesy, i když neznáme jejich yp. 4 Problém zdánlivé korelace a regrese Definice: O zdánlivé korelaci mezi dvěma proměnnými (veličinami, časovými řadami, náhodnými procesy) mluvíme v případě, kdy mezi proměnnými skuečná závislos neexisuje, ale zdá se, že exisuje. (Teno jev je duálním jevem ke zdánlivé nonkorelaci). Ve saisické lierauře se kromě názvu zdánlivá korelace (spurious correlaion) používají ješě názvy klamná, pseudo, nepravá, iluzorní, nesmyslná (nonsense), náhodná a podmíněná (condiional) korelace. Vznik a rozčlenění: Podle příčin vzniku lze zdánlivou korelaci rozděli v podsaě na ři skupiny, keré se mohou i vzájemně kombinova (kuriózní a zábavné příklady jsou z knihy [SWOBODA, H. 977]):. Nesmyslná / náhodná / nevysvělená korelace: žádná závislos nemůže z principu exisova (nebo o ní nevíme), ale jenom náhodně mají obě proměnné podobný průběh. Například: čím kraší sukně, ím vyšší burzovní kurzy, čím věší dovoz pomerančů, ím věší poče úmrí na rakovinu, lidé rpící ledvinovými kameny mají oblíbenou barvu zelenou 2. Podmíněná korelace: zdánlivá závislos je způsobena vlivem společné řeí proměnné, společného fakoru (kerý na obě sledované proměnné nějak působil). Nejčasěji je společnou (řeí) proměnnou: čas, pořadí, rend (u časových řad a náhodných procesů), eploa, lak, referenční/vzažná veličina, akční veličina, funkce svazující obě veličiny. Například: s přibývajícím věkem ženy kladou chodidla více k vnější sraně (vliv výchovy na přelomu 9. a 2. soleí), mezi podílem kuřáků a nekuřáků exisuje výrazná záporná korelace (procenní podíly se navzájem doplňují na %), čím mají děi vyšší ělesnou váhu, ím jsou zručnější (korelace obou znaků s věkem: sarší děi jsou šikovnější i ěžší v poměru k mladším). 3. Nesprávně inerpreovaná korelace: zdánlivá korelace pochází buď z nesprávného výkladu skuečně exisující korelace, nebo je zaměněna orienace kauzaliy (obrácení příčiny a účinku). Například: mezi ělesnou váhou a čenými nemocemi exisuje kladná korelace. Obézní budou proo zdravější, budou-li užíva odučňovací abley, nepoměrně více lidí umírá v poseli než na ulici, na moři nebo ve vykřičené krčmě. Posel je proo prokazaelně nejnebezpečnější míso pobyu!.

8 Nebezpečí zdánlivé korelace spočívá v om, že vede na ukvapené a nesprávné závěry (včeně obrácení orienace kauzaliy), nebo podporuje manipulované inerpreace (v poliice, reklamě apod.). Deekce: Indikaci zdánlivé korelace lze uskuečňova:! pro průřezová daa pomocí srovnání znamínek a velikosí hodno korelační a parciální korelační maice [HEBÁK, P. & HUSTOPECKÝ, J. 99], [MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 994]! u časových řad (náhodných procesů) pomocí srovnání výsledků regrese původních a upravených (sacionarizovaných / očišěných, nebo doplněných o společný fakor) da. Pokud je lineární regresní člen pro původní daa saisický významný a pro upravená daa saisicky nevýznamný, pak jde o zdánlivou korelaci a regresi [SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S. 998]! u nesacionárních inegrovaných DS / I(d) procesů byl zaveden pojem koinegrace, kerá slouží k odlišení jejich zdánlivé a skuečné korelace. Řešení zdánlivé korelace obecně spočívá ve:! vyloučení společného fakoru (pomocí sacionarizace: odsranění rendu, cykličnosi, sezónnosi / odsranění drifu - diferencováním) [BAKYTOVÁ, H. AJ. 979], [CYHELSKÝ, L. AJ. 986], [SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S. 998] a následné esování korelace mezi nepravidelnými (náhodnými) složkami analyzovaných da, nebo! vyjádření společného fakoru (jeho zavedením do regresní rovnice) [KAŇOKOVÁ, J. 989], [BIERENS, H. 999c], [HEBÁK, P. & HUSTOPECKÝ, J. 99], [MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 994]. Pozn.: V předchozí kapiole bylo konsaováno, že diferencování je poměrně obecnější způsob sacionarizace nesacionárních procesů, než odsranění deerminisického rendu. Teno způsob má však omezení: u sysému nesacionárních procesů exisuje mnohem univerzálnější a účinnější způsob esování i řešení vzájemných vazeb pomocí koinegrace (nebo pomocí nelineární korendové analýzy). Příklad zdánlivé korelace dvou TS procesů je uveden např. v [SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S. 998]: V luxusní francouzské resauraci jednoho pražského hoelu byla v desei dnech za sebou sledována ržba za poledního provozu (obědy X is. Kč) a za večerního provozu (večeře Y is. Kč). Je řeba zjisi, jak je silná závislos mezi vývojem ržeb v poledním a večerním provozu, nebo jinak řečeno zda by se dalo z vývoje poledních ržeb usuzova na očekávanou výši ržeb večerních. Časové řady jsou zobrazeny na obr. 6, odkud se nám jeví, že spolu poměrně ěsně souvisí mají podobný rend. 46 Graf průběhu ržeb POLEDNE (L) VEČER (R) DEN Obr. 6. Průběhy ržeb v poledne a večer (v is. Kč) 74

9 A. Průřezová (prosorová) daa korelace: I když je známo, že obě veličiny jsou časové řady, přeso kvůli demonsraci bude zajímavé pohlíže na ně jako na průřezová daa a oesova jejich vzájemné korelační vzahy (nakonec i samoní renomovaní auoři [SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S. 998] zvolili právě eno přísup). Pro oesování příomnosi zdánlivé korelace je řeba vypočís maici výběrových (párových) korelačních koeficienů a maici výběrových parciálních korelačních koeficienů [HEBÁK, P. & HUSTOPECKÝ, J. 99], [MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 994]. Parciální korelační koeficien je korelační koeficien počíaný mezi dvěma veličinami s vyloučením vlivu osaních proměnných [ANDĚL, J. 985]. Umožňuje edy odhali souvislosi, keré by jinak zůsaly skryé v souvislosech všeho se vším, anebo naopak se ukáže, že nějaká zdánlivě výrazná souvislos (zdánlivá korelace), indikována korelačním koeficienem, je vlasně jen zprosředkována jinými proměnnými (společnou řeí proměnnou) [KOSCHIN, F. AJ. 992]. Porovnání hodno obou ypů korelačních koeficienů lze aké využí k určení paraziních a významných proměnných při vícenásobné regresi [MELOUN, M. & MILITKÝ, J. 994]. Pro dané veličiny ržby v poledne (P), večer (V) a čas, dny (D) - dosaneme následující maice párových (horní hodnoy) a parciálních (dolní hodnoy) korelačních koeficienů (ab. 5 QC Exper): Tab. 5. Maice korelačních koeficienů veličiny P V D P V +.73 (-.6) D (+.45) +.86 Pozn.: Hodnoy koeficienů byly zaokrouhleny na 2 deseinná mísa, hodnoy v závorkách jsou saisicky nevýznamné na hladině významnosi α =.5. Kriická hodnoa párových korelačních koeficienů r(n=, α =.5) =.63 a parciálních korelačních koeficienů r (9,.5) =.67 [ANDĚL, J. 985]. Nevýznamnos parciálního korelačního koeficienu r proměnných P, D je pravděpodobně způsobena malým rozsahem výběru (n=). Z abulky je zřejmé, že saisicky nevýznamná hodnoa i jiné znaménko (než u párového) parciálního korelačního koeficienu veličin P,V indikuje zdánlivou (podmíněnou, zprosředkovanou) korelaci. Sejnou hodnou lze dosa po výpoču párového korelačního koeficienu pro veličiny očišěné od lineárního rendu (korelační maice pouze proměnných P,V) [SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S. 998]. Siuaci při zdánlivé korelaci analyzovaných veličin znázorňuje obr. 7. P r = +.73 V neuvažován (=> zdánlivá korelace) akce v čase společný fakor P V uvažován r' = (-.6) Obr. 7. Schéma zdánlivé a skuečné korelace mezi veličinami P a V

10 B. Časové řady regrese: Výsledky lineární regrese pro původní daa jsou uvedeny v ab.6, přičemž lineární saický regresní model byl uvažován ve varu: Y = b + b X + ε, =, 2,.... (6) Tab.6. Výsledky lineární regrese pro původní neupravená daa (EasyReg) b b F R 2 [%] DW JB BP Pozn vše OK Pozn.: F... Fisherova saisika modelu, DW... saisika Durbin-Wasonova esu auokorelace reziduí, JB... saisika Jarque-Beraova esu normaliy reziduí, BP... saisika Breusch-Paganova esu homoskedasiciy reziduí. Hladina významnosi α =.5. Model je po všech sránkách naproso korekní i významný a ak by se zdálo, že hypoéza o závislosi večerních a poledních ržeb je prokázána. Podezření na zdánlivou korelaci však vyplývá z několika skuečnosí: - věcná úvaha o reálnosi výsledku: není důvod očekáva silnější vzah mezi polední a večerní ržbou, čili asi jde o nesmyslnou korelaci, - zřejmě působil společný rendový fakor např. začáek sezóny, vliv reklamy apod., akže jde aké o podmíněnou korelaci, - fak, že skuečná korelace se projevuje mezi nesysemaickými (náhodnými) složkami časových řad a ne mezi složkami sysemaickými (rend, cykličnos, sezónnos). Exisuje více možnosí úprav da: v případě, že jde o procesy DS (po oesování jednokových kořenů) použijeme pro regresi diferencované řady. Pokud však umíme oesova koinegraci, ak ji u ěcho řad napřed použijeme a rozhodneme o dalším posupu. Pokud jde o procesy TS, pak buď provedeme očišění od rendu, nebo rendovou proměnnou (daum, čas, pořadí) zařadíme do modelu. Pokud mají řady smíšený DS/TS charaker, nebo charaker neznáme, pak použijeme diferencované řady. Za předpokladu nepoužií (neznalosi) esů jednokových kořenů a koinegrace, provedeme regresní analýzu s day očišěnými od lineárního rendu, se zavedením relaivního času (pořadí, dny) a aké s diferencovanými hodnoami. Výsledky jsou uvedeny v ab.7,8,9 (hodnoy v závorkách jsou saisicky nevýznamné na hladině α =.5). Tab. 7. Výsledky regrese s day očišěnými od lineárního rendu (Sagraphics, EasyReg) b b F R 2 [%] DW JB BP (.) (-.5) (.27) (.3) Model s rendově očišěnými veličinami (odchylkami od rendů) měl var: e y = b + be x + ε ( Y Ty ) = b + b ( X Tx ) + ε. (7) Lineární rendové funkce pro obě veličiny byly nalezeny ve formě: T y = , (8) T x = (9) Výsledky signalizují, že model je korekní, ale saisicky nevýznamný včeně svých paramerů. Tao skuečnos znamená, že mezi veličinami je pouze zdánlivá (nesmyslná) korelace. Tab. 8. Výsledky lineární regrese se zavedenou další proměnnou časem (EasyReg) b b b F R 2 [%] DW JB BP.433 (-.5) Při éo regresi byl uvažován model: Y = b + b X + b + ε. (2)

11 Model je naproso korekní, ale lineární koeficien b vyjadřující závislos na poledních ržbách je saisicky nevýznamný. Srovnáním s výsledky modelu pro původní daa lze edy konsaova, že jde o zdánlivou (podmíněnou) korelaci. Tab. 9. Výsledky lineární regrese pro diferencované časové řady (EasyReg) b b F R 2 [%] DW JB BP (.625) (-.325) (.6) (4) Byl uvažován model s diferencemi veličin: Y = b + b X + ε, =, 2,... 9, (2) přičemž z výsledků vyplývá, že model je korekní (kriická hodnoa Durbin-Wasonovy saisiky pro negaivní auokorelaci je 4-d L (α =.5, n=9, k=) = 3.76 [CYHELSKÝ, L. AJ. 986]), ale přiom saisicky nevýznamný i se svými koeficieny. Závislos mezi řadami je edy pouze zdánlivá. 5 Koinegrace Pojem koinegrace jako první eoreicky popsal Granger (98), kerý se zajímal o zdánlivou závislos mezi nesacionárními procesy. Princip koinegrace je jednoduchý: i když se procesy chovají individuálně (jsou nesacionární), přeso mezi nimi může exisova vzah, kerý se chová usáleně (je sacionární). Jinak řečeno: proměnné se nazývají inegrovanými, pokud jejich rend může bý odsraněn diferencováním. Inegrované proměnné jsou koinegrované, když exisuje jejich lineární kombinace, kerá nemá sochasický rend [BENKWITZ, A. AJ. 999]. Odborně řečeno: i když všechny komponeny vekorového náhodného procesu z mají jednokové kořeny (j. když z je vícenásobný inegrovaný proces ypu I()), přeso mohou exisova lineární kombinace ξ T z bez jednokového kořene (j. jsou sacionárními I() procesy). Tyo lineární kombinace mohou bý inerpreovány jako dlouhodobé vzahy mezi komponenami z, nebo podle ekonomerické erminologie jako saická ekvilibria [BIERENS, H. 999a]. Princip koinegrace je úsřední myšlenkou modelování inegrovaných časových řad, proože:. Sřední hodnou sacionární lineární kombinace inegrovaných časových řad I(d) je možné chápa jako (dlouhodobé) ekvilibrium (rovnovážný vzah), keré spojuje uvažované časové řady. 2. Analýza vzahů mezi procesy I(d) má smysl pouze ehdy, jsou-li yo koinegrované, j. jsou-li spjaé společným sochasickým sacionárním rendem. Není-li omu ak, každý proces má jiný směr vývoje. Poom při zkoumání vzahů mezi nimi pomocí regresní analýzy vzniká sav zv. zdánlivé regrese. Tes koinegrace procesů je edy současně meodou pro rozlišení mezi pravou a zdánlivou regresí (i korelací). 3. Skupinu koinegrovaných časových řad lze popsa modelem korekce chyby (ECM Error Correcion Model), jehož prosřednicvím lze odliši dlouhodobé a krákodobé vzahy mezi časovými řadami. Může bý prosředkem řešení rozporu mezi saisickým a ekonomerickým přísupem modelování nesacionárních časových řad. Oba přísupy použié izolovaně jsou problemaické. ECM umožňuje spoji přísup saisický (zkoumající vlasnosi sacionarizovaných diferencovaných časových řad, ale zbavující se důležiých informací obsažených v původních nesacionarizovaných časových řadách) a přísup ekonomerický (kladoucí důraz na ekvilibrium časových řad, ale přehlížející problém zdánlivé regrese). Sysém koinegrovaných procesů se nejčasěji popisuje pomocí k-rozměrného vekorového auoregresního modelu řádu p - VAR(p) ypu I(), kerý lze vyjádři v diferenční formě zv. modelu korekce chyb ECM (Error Correcion Model) [ARLT, J. 999].

12 Model ECM obsahuje jak krákodobé vzahy mezi procesy (j. vzahy mezi sacionarizovanými, diferencovanými procesy), ak i vzahy dlouhodobé (j. vzahy mezi nediferencovanými procesy). Informace o ěcho vzazích jsou obsaženy v paramerické maici Π. Konsrukce modelu EC umožňuje odděli oba druhy vzahů a zkouma je samosaně, přičemž mohou nasa ři siuace:. h(π) = r = k, j. maice Π má plnou hodnos (poče koinegračních vekorů r je roven poču procesů k). To znamená, že k-rozměrná časová řada je generována sacionárním vekorovým procesem {X }(sysém obsahuje pouze procesy ypu I() a ne I()). 2. < h(π) = r < k, v omo případě nezmizí nediferencovaný člen modelu EC, ale současně nelze vekorový proces {X } považova za sacionární. Proože maice Π je nenulová, lze nají mezi časovými řadami dlouhodobý vzah a sacionarizaci jejich individuálním diferencováním bez zráy informace nelze provés. Prakicky o znamená, že někeré časové řady lze sacionarizova jejich diferencováním, neboť nejsou obsaženy v žádném dlouhodobém vzahu s jinými. Někeré časové řady však nemohou bý sacionarizovány diferencováním, neboť jejich lineární kombinace s jinými časovými řadami již sacionární jsou yo řady jsou koinegrované. Touo siuací se deailně zabývá Grangerova věa (987), kerá dokazuje, že koinegrovaný sysém časových řad může bý vyjádřen ve řech formách: ve formě modelu VAR, EC a VMA. 3. h(π) = r =, zn. že maice Π je nulová a model EC neobsahuje nediferencovaný člen. K- rozměrná časová řada je generována nesacionárním vekorovým procesem {X } a její sacionarizaci lze provés individuálním diferencováním jednolivých časových řad. Diferencováním nedochází ke zráě informace o dlouhodobém vzahu mezi časovými řadami, neboť žádný neexisuje. Koinegraci lze definova akéž v jednorovnicových modelech. Princip koinegrace byl deekován a aplikován v oblasi ekonomerie (makroekonomicko-finanční aplikace), jeho rozpracování a aplikace v oblasi echnomerie (jakožo průniku maemaiky, maemaické saisiky a echnologie) je eprve v počáeční fázi. 5. Ekonomerický pohled V příspěvku [JOHANSEN, S. 997] je uveden jednoduchý a přehledný sysém koinegrovaných procesů Y, Z ve varu: Y = ( a) Y + az + ε, (22) Z = ay + ( a) Z + ε 2, přičemž pro koeficien vazby plaí, že a <, >. Pro a = jsou oba procesy ypu náhodná procházka (inegrované procesy řádu I()) a nejsou vzájemně koinegrované. Pro eno případ však může nasa jev zdánlivé korelace (zvlášě pro věší poče hodno) [BIERENS, H. 999c]. Pro a = jsou procesy prakicky oožné (proces je roven druhému zpožděnému procesu s přídavným šumem). Schéma vazeb vekorového sysému je znázorněna na obr. 8.

13 Y ε a Σ Y -a z - ε 2 a Z Σ Z -a z - Obr. 8. Blokové schéma koinegrovaných procesů Y, Z (Johansen) V programu Malab lze vyvoři M-funkci, např. Coin2_J se vsupními paramery: {n, seed, µ ε, µ ε 2, σ ε, σ ε 2, a, Y, Z} a s výsupy {Y, Z } včeně jejich grafického průběhu a uložení hodno do ASCII souboru. Pro paramery n =, seed = , µ ε = µ ε 2 =, σ ε = σ ε 2 =, a = (j. procesy jsou nezávislé, nekoinegrované), Y = 5 a Z = 5 byly vygenerovány inegrované procesy a jejich průběhy jsou znázorněny na obr e e Y Z Obr. 9. Průběhy inegrovaných procesů Y (horní průběh), Z při zdánlivé korelaci (a = ) Při vizuálním experním posouzení průběhů se zdá, že mezi procesy exisuje poměrně ěsná záporná korelace, což nakonec celkem povrdí i korelační diagram (obr. ).

14 2 Z x Y Obr.. Korelační diagram procesů Y a Z (při zdánlivé korelaci) Pokud uskuečníme zv. naivní regresní analýzu (j. bez předchozího ověření předpokladů), dosaneme pro model Z = a + b.y výsledky (ab. ), keré nám povrdí zdánlivou korelaci jako korelaci skuečnou - model i koeficieny jsou saisicky významné, j. mezi veličinami exisuje lineární závislos. Tab.. Základní výsledky jednoduché lineární regrese (Sagraphics) Paramer / saisika Hodnoa Poznámka / závěr absoluní člen a 8.8 saisicky významný lineární člen b saisicky významný Fisherův F-es modelu saisicky významný koeficien deerminace R saisicky významný Pozn.: Uvažovaná hladina významnosi α =.5, celkový F-es modelu je v omo případě ekvivalenní esu koeficienu deerminace, výsledky byly zaokrouhleny na 3 deseinná mísa. Teprve při analýze reziduí (ab.) vyplyne nekoreknos modelu způsobena výraznou poziivní auokorelaci reziduí (kriická hodnoa Durbin-Wasonovy saisiky d L (α=.5, n=, k=) je.65). Tab.. Analýza reziduí jednoduché lineární regrese (EasyReg) Vlasnos Tes Hodnoa Poznámka / závěr auokorelace Durbin Wason.93 poziivní auokorelace normalia Jarque Berra akcepována homoskedasicia Breusch Pagan.596 akcepována Auokorelace reziduí signalizuje nesprávný model, kerý však nemá význam hleda prosředky vhodnými pro saisickou analýzu sacionárních časových řad. Při analýze nesacionárních procesů, nejprve oesujeme zv. jednokové kořeny (pro odlišení TS/DS procesů) a v případě inegrovaných procesů (DS, I()-náhodné procházky) esujeme jejich koinegraci (ab.2,3). Tab. 2. Výsledky esů jednokových kořenů (EasyReg) Proces Tes ADF PP Poznámka / závěr Y > > -2.5 nesacionární proces ~ I() Z -2.6 > > -2.5 nesacionární proces ~ I()

15 Pozn.: ADF... Rozšířený (Augmened) Dickey-Fullerův es, PP... Phillips-Perronův neparamerický es. U esů jsou uvedeny esační saisiky a kriické hodnoy pro α =.5. Nulová hypoéza H : jednokový kořen s drifem, alernaivní hypoéza H : lineární TS proces. Tab. 3. Výsledky esů koinegrace (EasyReg) Řád VAR sysému Ekvilibrium Poznámka / závěr p = p = 2 konsana r = r = r = => procesy nejsou konsana + r = r = koinegrované lineární rend Pozn.: VAR... Vecor AuoRegressive. Poče koinegrovaných vekorů r byl sanoven podle Johansenova přísupu. Závěr: Oba procesy jsou nesacionární ypu I() (náhodná procházka) a nejsou koinegrované, j. neexisuje mezi nimi dlouhodobý vzah (ekvilibrium). Tesování koinegrace lze využí pro rozlišení mezi skuečnou a zdánlivou korelací mezi nesacionárními procesy ypu DS / I(). Nekoinegrované procesy lze jednolivě sacionarizova diferencováním. Mezi diferencemi procesů Y a Z, j. mezi procesy ε a ε 2 se už žádným způsobem (vizuálně, ani klasickou regresní analýzou) nepodaří zjisi korelaci viz horní graf obr Technomerický pohled Nevýhodou ekonomerického přísupu pro echniky jsou ěžko inerpreovaelné, umělé a nevhodné modely pro signály dynamických sousav echnologických procesů. V následující čási budou definovány diskréní modely sousav Si a Sp, jako i způsob esování jejich rozlišení (idenifikace) na základě vsupních a výsupních signálů Diskréní modely sousav Si a Sp Základním zdrojem nesacionariy echnologických procesů jsou inegrační (asaické) sousavy např. různé zásobníky, nádrže, hromady apod. V dalším budeme uvažova základní inegrační sousavu s asaismem. řádu (Si) se spojiým přenosem (23) GS ( s) =, TI s kde T I je inegrační časová konsana sousavy. Ze spojiých přenosů lze získa zv. celkové diskréní přenosy - invarianní vzhledem k přechodové funkci, nebo jinak přenosy s uvažovaným A-Č převodníkem na vsupu (vzorkovač) a Č-A převodníkem na výsupu (vzorkovač a varovač. řádu) - pomocí vzahu uvedeného např. ve [VÍTEČEK, A. 988]: GS ( s) (24) G SC ( z) = ( z ) Z{ L { } = kt }, s kde = k.t je diskréní čas v násobcích k = {,, 2,...} periody vzorkování T. Pro uvažovanou inegrační sousavu ak dosaneme celkový diskréní přenos (model) T z (25) GSC ( z) = TI z s odpovídající diferenční rovnicí: T (26) y = a y + bu = y + u, TI odkud je zřejmé, že pro koeficieny plaí: T (27) a b =., T I

16 Pro diferenci výsupního signálu plaí vzah odpovídající rovnici přímky procházející počákem T (28) y = y y = bu = u, TI ze kerého je zřejmá jeho použielnos (ve smyslu výsledků lineárního regresního modelu) pro paramerickou idenifikaci sousavy Si, j. určení její inegrační časové konsany (perioda vzorkování T je obecně známá) T (29) T I. b Další sousavou, kerá může bý aproximací inegrační sousavy.řádu, je proporcionální sousava se servačnosí.řádu (Sp) se spojiým přenosem k (3) G S ( s) =, T s + kde k je koeficien přenosu a T časová konsana sousavy. Tao sousava má celkový diskréní přenos: T k( c) z (3) T GSC ( z) =, c = e (, ) cz a odpovídající diferenční rovnici: y = a y + bu = cy + k( c) u, (32) odkud je zřejmé, že pro koeficieny plaí: T (33) T a = c = e (, ), b = k( c) >. Odhady paramerů sousavy z odhadů regresních koeficienů lze získa pomocí vzahů: ~ b ~ T (34) k =, T =. a ln( a ) Pro zv. kvazidiferenci (viz např. [GARAJ, V. & ŠUJAN, I. 98]) výsupního signálu plaí aké vzah odpovídající rovnici přímky procházející počákem ~ y = y cy = k( c) u, (35) odkud lze vidě, že kvazidiference pro c = přechází na diferenci procesu. Ze srovnání diferenčních rovnic je zřejmé, že obě sousavy mají velice podobné diskréní modely (obr.). u z - b k (-c) Σ y y u z - b T/T I Σ y y a z - c a z - a = c = e -T/T ε (, ) a = Obr.. Diskréní modely sousav Sp (vlevo) a Si (vpravo) Z hlediska klasifikace procesů podle moderních a klasických meod analýzy časových řad bude mí výsup y sousavy Sp charaker sacionárního procesu I() / AR() a výsup sousavy Si charaker nesacionárního procesu I() / ARIMA(,,) za předpokladu, že na vsupy sousav bude působi signál u ypu náhodný Gaussovský proces (bílý šum).

17 Pokud zobrazíme závislos koeficienů diferenční rovnice a, b diskréního modelu sousavy Sp na paramerech sousavy k, T a modelu T, dosaneme pro normovaný poměr časových paramerů T /T následující průběhy (obr. 2):.5 b(.5, T, T) a( T, T).5 b( TT,, ) b(.5, T, T).5. T T. T T Obr. 2. Závislosi koeficienů a (T,T) a b (k,t,t) na poměru T /T Z obrázku je jasné, že pro poměr časových paramerů T /T > (čili pro časovou konsanu T řádově věší než perioda vzorkování T) se hodnoa koeficienu a a sousava Sp se přibližuje svým chováním sousavě Si. Pro uvedený velký poměr časových paramerů budou pravděpodobně selháva esy ypů procesů DS/TS (vycházející z klasické analýzy časových řad) a esy jednokových kořenů, keré zřejmě nerozliší sacionární a nesacionární procesy výsupních signálů ěcho sousav. Podobnos výsupních procesů diskréních modelů sousav DSi a DSp se v případě a = c, T I >> T projeví i na jejich diferencích T (36) y = u, TI y = k c). (37) ( u Idenifikace sousav Si a Sp Idenifikace uvedených sousav bude uskuečněna pomocí esování nesacionariy a ypů procesů jejich výsupních signálů. Pro další analýzu budou vygenerovány odezvy sousav Si a Sp na sejný vsupní sacionární signál ypu Gaussovský náhodný proces (bílý šum) s nenulovou sřední hodnoou. Budou prozkoumány možnosi určení ypů výsupních nesacionárních procesů (DS/TS) a určení ypů sousav (Si/Sp), ze kerých procesy pocházejí (vycházejí). V programu Malab lze vyvoři M-funkce pro diskréní modely sousav Si a Sp, např. DSi se vsupními paramery: {n, u, T I, T, y } s výsupem yi, DSp se vsupními paramery: {n, u, k, T, T, y } s výsupem yp, včeně jejich grafického průběhu a uložení hodno do ASCII souboru. Pro paramery simulace: n=, T=, paramery vsupního sacionárního náhodného procesu s nenulovou sřední hodnoou u : seed=3579, µ u = 5, σ u =, byly vygenerovány: výsupní proces yi sousavy Si s paramery: T I =5, y I =2 a výsupní proces yp sousavy Sp s paramery: k =2.3, T =, y P =. Konfigurace diskréních modelů sousav je znázorněna na obr.3. DSi yi u DSp yp Obr. 3. Konfigurace modelů sousav DSi a DSp

18 Průběhy vsupního sacionárního a výsupních nesacionárních procesů lze sledova na obr u yi yp Obr. 4. Průběhu vsupního (u ) a výsupních procesů (yi a yp) Výsupní procesy sousav lze esova a idenifikova pomocí: - klasické analýzy časových řad, - moderní meody esování jednokových kořenů - regresní a korelační analýzy (j. pomocí regresních rovnic a korelačních grafů). A. Klasická analýza časových řad: Při esování procesů pomocí klasické analýzy časových řad esujeme původní, diferencované a rendově očišěné procesy podle dříve uvedené meodiky ověřované na generovaných DS a TS procesech. Výsledky analýzy jsou uvedeny v ab. 4 (Sagraphics). Tab. 4. Základní klasifikace nesacionárních procesů yi() a yp() Procesy Hodnoy Model Závěr yi I() původní procesy nelze rozliši! yp I() diff yi bílý šum (BŠ) diferencované procesy diferencované diff yp bílý šum (BŠ) nelze rozliši! očišěné od lineárního derend yi AR() / I() rendově očišěné rendu (T ) derend yp AR() / I() procesy nelze rozliši! Závěr: Jak je z abulky zřejmé, pomocí klasické analýzy časových řad nelze rozliši ypy výsupních procesů DS/TS sousav Si a Sp! B. Moderní analýza časových řad: Pokud použijeme esy jednokových kořenů (a o esy nesacionariy i sacionariy) pro původní, diferencované a rendově očišěné procesy, dosaneme výsledky uvedené v ab. 5.

19 Tab. 5. Výsledky esů nesacionariy a sacionariy výsupních procesů (EasyReg) Proces Tesy nesacionariy Tesy sacionariy ADF PP BG KPSS Poznámka yi DS DS TS DS yp DS DS TS DS procesy nelze rozliši! diff yi DS TS TS TS diferencované procesy diff yp DS TS TS TS nelze rozliši! derend yi DS DS TS DS rendově očišěné procesy derend yp DS DS TS DS nelze rozliši! Pozn.: Tesy PP a KPSS jsou silnější než esy ADF a BG. Pomocí esů PP a KPSS bylo možné odliši pouze diferencované procesy (keré se jevily jako procesy TS) od původních a rendově očišěných procesů (keré měly charaker procesů DS, j. náhodných procházek ypu I()). Závěr: Z výsledků v abulce je možné učini závěr, že pomocí esů jednokových kořenů aké nelze rozliši výsupní procesy uvedených sousav Si a Sp! C. Regresní a korelační analýza časových řad: Pro oesování (idenifikaci) ypů sousav (Si/Sp) zkusíme použí regresní a korelační analýzu (j. regresní rovnice a korelační grafy). Můžeme přiom využí buď:! výše uvedené vzahy pro (kvazi)diference výsupních signálů sousav ve formě výpočů regresních rovnic odpovídajících diskrénímu modelu sousavy Si! nebo regresní rovnice odpovídající diskrénímu modelu sousavy Sp. ) Regresní rovnice ypu Si a) Pro esování použijeme nejprve příslušný lineární regresní model bez absoluního členu (kerý však přesně odpovídá pouze modelu sousavy DSi) y = b u + ε, (38) kde ε označuje rezidua. Výsledky regrese jsou uvedeny v ab. 6. Tab. 6. Výsledky regrese pro model bez absoluního členu (Sagraphics, EasyReg) Procesy b R 2 [%] DW JB Homoskedasicia Poznámka yi, u perfekní model yp, u korekní model Závěr: Oba modely jsou saisicky významné i korekní (správné), přičemž model pro výsupní signál ze sousavy DSi je perfekní (R 2 = %). Z éo skuečnosi můžeme usoudi, že signál yi pochází z inegrační sousavy. b) Pokud uskuečníme výpoče pro umělý (neodpovídající modelům dynamických sousav) lineární regresní model s absoluním členem, dosaneme výsledky uvedené v ab.7. Regresní model má v omo případě var y = a + bu + ε. (39) Pro sousavu DSi dosaneme rezidua ε odečením rovnice diskréního modelu sousavy od uvedené regresní rovnice ε = a, (4) odkud je vidě, že rezidua jsou nezávislá na vsupní (vysvělující) proměnné u - i na výsupní (vysvělované) proměnné yi, mají charaker Gaussovského náhodného procesu se sřední

20 hodnoou blízkou nule. To dále znamená, že absoluní člen a by měl bý saisicky nevýznamný. Pro sousavu DSp upravíme nejprve rovnici diskréního modelu na var s diferencí výsupního signálu na levé sraně y = y y = ( c ) y + k( c) u = ( c ) y + bu, (4) odkud rezidua ε dosaneme odečením éo rovnice od uvažované regresní rovnice s absoluním členem ε = ( c ) y a. (42) V omo případě je zřejmé, že rezidua jsou závislá na zpožděné (o jeden krok) výsupní (vysvělované) proměnné yi -, z čehož vyplývá jejich auokorelace.řádu. Jejich obecně nenulová hodnoa je závislá ne velikosi poměru časových paramerů T /T. Absoluní člen a bude nenulový a zřejmě i saisicky významný. Tab. 7. Výsledky regrese pro model s absoluním členem (Sagraphics, EasyReg) Procesy a b R 2 [%] DW JB BP Poznámka yi, u - (3. -9 ) absoluní člen je nevýznamný yp, u (.6) (8.76).245 auokorelace, nenormalia! Závěr: Model pro výsupní signál yp ze sousavy DSp je saisicky významný, ale není korekní (správný) rezidua vykazují významnou poziivní auokorelaci a nejsou normálně rozdělena. Koeficien b pro eno model je asi o jeden řád věší, než v modelu bez absoluního členu. Tao skuečnos aké podporuje závěr, že s modelem pro yp není něco v pořádku. Model pro výsupní signál yi ze sousavy DSi je perfekní (R 2 = %) a korekní (správný). Z éo skuečnosi můžeme znovu usoudi, že signál yi pochází z inegrační sousavy. Uvedené skuečnosi můžeme podchyi v algorimu idenifikace ypu sousav / jejich procesů (obr. 5). TS Z y = (a ) + b u - + ε Si + perfekní - model? Sp K Obr. 5. Algorimus esování ypů sousav (jejich výsupních procesů) Pro vizuální posouzení lze zobrazi korelační diagramy (bodové X-Y grafy) pro odpovídající proměnné (signály) viz obr. 6.

21 Obr. 6. Korelační diagramy diferencí výsupů a zpožděného vsupu sousav Závěr: Z grafů a předchozích vzahů je zřejmé, že přesná lineární závislos mezi diferencí výsupního signálu a o jeden krok zpožděným vsupním signálem odpovídá pouze inegrační sousavě Si. Tao skuečnos je edy kriériem pro rozlišení ypů sousav a ím i ypů signálů. Výsupní signál yi z inegrační (asaické) sousavy Si je pravým nesacionárním signálem, zaímco výsupní signál yp z proporcionální (saické) sousavy Sp je kvazinesacionárním signálem, kerý se po uplynuí přechodového děje sává signálem sacionárním. Je samozřejmé, že v praxi budou výsupy sousav zaíženy poruchami a výsledky nebudou ak jednoznačné. Přeso lze předpokláda, že uvedeným způsobem půjde odliši výsupní signály a ím i sousavy Si a Sp. 2) Regresní rovnice ypu Sp a) Pro esování použijeme nejprve příslušný lineární regresní model bez absoluního členu, kerý přesně odpovídá oběma diskréním modelům sousav DSi (a =) i DSp (a <) y = a y + bu + ε, (43) kde ε označuje rezidua. Výsledky regrese jsou uvedeny v ab. 8. Tab. 8. Výsledky regrese pro model bez absoluního členu (Sagraphics, EasyReg) Procesy a b R 2 [%] DW JB Homoskedasicia Poznámka yi, u perfekní model yp, u perfekní model Závěr: Oba modely jsou saisicky významné, korekní (správné) a perfekní (R 2 = %). Podle velikosi koeficienu a lze jednoznačně posoudi příslušnos signálů k ypům sousav (pro a = jde o výsup z inegrační sousavy). Tao úvaha výrazně koresponduje s myšlenkou esování zv. jednokových kořenů procesů DS/TS používanými v moderní analýze časových řad (v ekonomerii).

22 b) Pokud uskuečníme výpoče pro umělý (neodpovídající modelům dynamických sousav) lineární regresní model s absoluním členem, dosaneme výsledky uvedené v ab.9. Regresní model má v omo případě var y a + a y + bu + ε. (44) = Tab. 9. Výsledky regrese pro model s absoluním členem (Sagraphics, EasyReg) Procesy a a b R 2 [%] DW Dh JB BP Poznámka yi, u - (.) (-4.).68.6 perfekní model yp, u - (.) (-4.2) perfekní model Pozn.: Oba modely jsou saisicky významné, korekní (správné) a perfekní (R 2 = %). Durbinova h saisika (Dh) sice vykazuje saisicky významnou hodnou (vzhledem k N(,)) a signalizuje zápornou auokorelaci reziduí, avšak vzhledem ke saisicky nevýznamné hodnoě DW a ke korekně definovanému modelu je eno údaj nevhodný a maoucí. Absoluní člen regresní rovnice a je v obou případech nulový a saisicky nevýznamný. Závěr: Podle velikosi koeficienu a lze opě jednoznačně posoudi příslušnos signálů k ypům sousav. Uvedené skuečnosi můžeme jednoduše podchyi (pro uvažovaný eoreický případ) v algorimu idenifikace ypu sousav a jejich výsupních procesů (obr. 7). TS Z y = (a ) + a y - + b u - + ε Si - a <? + Sp K Obr. 7. Algorimus esování ypů sousav (a jejich výsupních procesů) Je logické, že v prakických případech mohou jednoznačnos idenifikace zíži jak adiivní šum na vsupech/výsupech sousav, ak mimořádně velké časové konsany T sousav Sp. Závěr: Přehledné výsledky možnosi a úspěšnosi idenifikace sousav Si a Sp na základě jejich vsupně/výsupních signálů (proměnných, veličin, procesů) jsou uvedeny v ab. 2. Tab. 2. Možnosi idenifikace sousav Si a Sp na základě jejich vsupů a výsupů Meoda Daa / model Rovnice Závěry KAČR původní, diferencované, rendově očišěné - nelze idenifikova, rozliši! MAČR původní, diferencované, rendově očišěné - nelze idenifikova, rozliši! RA DSi y = bu + ε OK: yi, R 2 = % y = a + bu + ε OK: yi, a =, R 2 = % Dsp y = a y + bu + ε OK: yi, a = y a + a y + bu + ε OK: yi, a = =

23 Pozn.: KAČR... klasická analýza časových řad, MAČR... moderní analýza časových řad, RA... regresní analýza. Shrnuí: Z předchozích dílčích závěrů shrnuých do abulky lze konsaova, že nejspolehlivější idenifikační meodou sousav Si a Sp je saisická idenifikace pomocí regresní analýzy s vhodnými modely. Idenifikace pomocí klasické a moderní analýzy časových řad se ukázala jako nevhodná a nepoužielná, což je v rozporu s předchozími výsledky, kdy byl eno způsob idenifikace nesacionárních procesů ypu DS/TS naopak velice vhodný. Too konsaování jenom dále dovrzuje závěr, že pro echnomerickou analýzu signálů dynamických sousav echnologických procesů nelze auomaicky použí všechny výsledky eoreických přísupů ekonomerie a moderní i klasické analýzy časových řad. 6 Závěr Náplní výzkumu v oblasi řízení echnologických procesů v hunicví je [MORÁVKA, J. 999a], [MORÁVKA, J. 999b], [MORÁVKA, J. 2]: - nejprve analýza (deerminisická i saisická) srukury, kauzaliy a závislosí (vazeb, inerakcí) mezi veličinami, - pak jejich (sub)opimální řízení. Cíle opimalizace echnologických procesů jsou výrobně-ekonomické, ýkají se procesu výroby i samoných výrobků a paří mezi ně zejména: - minimalizace poruch, nesacionari echnologického procesu (např. zasavení aglomeračního pásu, průvalů na ZPO apod.) - maximalizace živonosi echnologických agregáů / minimalizace jejich opořebení (např. Cu vložek krysalizáorů na ZPO apod.) - maximalizace (opimalizace) kvaliy výrobků (např. aglomeráu, předliků apod.) - minimalizace vad (reklamací) výrobků - maximalizace výrobnosi zařízení - minimalizace nákladů na výrobky (zvýšení konkurenční schopnosi produků na rhu). Technologické procesy (např. v hunicví) jsou přiom obecně dynamické sysémy vícerozměrné, nelineární, sochasické, spojiě-diskréní s rozloženými paramery ypu MIMO (Muliple Inpu Muliple Oupu). Pokud obsahují inegrační subsysémy a proporcionální servačné subsysémy s velkými časovými konsanami (což je v hunických sysémech velice běžné), pak se v sysémech vyskyují nesacionární vsupní, savové a výsupní procesy (ypu DS, ale i TS). Klasifikace, idenifikace a saisická analýza jednolivých (jednorozměrových) nesacionárních procesů je už poměrně dobře zvládnuá. Analýza sysémů nesacionárních procesů pomocí P, V a H kanonických srukur víceparamerových sysémů [ŠULC, B. 999] a aplikace ěcho poznaků je však eprve ve sadiu zkoumání a rozpracování. Je edy celkem logické, že uvedené náročné úkoly výzkumu řízení echnologie se neobejdou bez znalosí a použií moderních meod saisické analýzy (i) nesacionárních náhodných procesů v mnohorozměrových dynamických sysémech echnologických procesů. 7 Lieraura ANDĚL, J Maemaická saisika. 2.vyd. Praha : SNTL/ALFA, s. ARLT, J Moderní meody modelování ekonomických časových řad..vyd. Praha: Grada Publishing, s.r.o., s. ISBN BAKYTOVÁ, H. AJ Základy šaisiky. 2.vyd. Braislava : ALFA, s.

24 BENKWITZ, A. AJ Muliple Time Series Analysis, Co-Inegraion. [online]. Humboldh Universiy, Berlin, Germany, 999. Dosupné z <URL: hp:// 6 s. BIERENS, H. 999a. Coinegraion Analysis [online]. Pensylvania Sae Universiy, PA, 999. Dosupné z <URL: hp://econ.la.psu.edu/~hbierens/> 29 s. BIERENS, H. 999b. Nonparameric Nonlinear Co-Trending Analysis, Wih an Applicaion o Ineres and Inflaion in he U.S. [online]. Pensylvania Sae Universiy, PA, 999. Dosupné z <URL: hp://econ.la.psu.edu/~hbierens/> 39 s. BIERENS, H. 999c. Free Economerics Sofware for Easy Regression Analysis [online]. Pensylvania Sae Universiy, PA, 999. Dosupné z <URL: hp://econ.la.psu.edu/~hbierens/>. CIPRA, T Analýza časových řad s aplikacemi v ekonomii..vyd. Praha : SNTL/ALFA, s. CYHELSKÝ, L. AJ Teorie saisiky. 2.upravené vyd. Praha : SNTL/ALFA, s. GARAJ, V. & ŠUJAN, I. 98. Ekonomeria..vyd. Braislava : ALFA/SNTL, s. HEBÁK, P. & HUSTOPECKÝ, J. 99. Průvodce moderními saisickými meodami..vyd. Praha : SNTL, s. ISBN JOHANSEN, S Mahemaical and Saisical Modelling of Coinegraion. In Sborník EUI (European Universiy Insiue) Florence, Ialy : Working Paper ECO No. 97/4, 997, 6 s. KAŇOKOVÁ, J Teorie saisiky pro řízení a plánování..vyd. Praha/Braislava: SNTL/ALFA, s. KOSCHIN, F. AJ STATGRAPHICS aneb saisika pro každého..vyd. Praha : Grada, s. ISBN LJUNG, L Sysem Idenificaion : Theory for he User.. vyd. Englewood Cliffs New Jersey : PTR Prenice Hall, s. ISBN MELOUN, M. & MILITKÝ, J Saisické zpracování experimenálních da..vyd. Praha : PLUS, s. ISBN MORÁVKA, J. 999a. Ekologická opimalizace provozu A2 SP4. (Analyická sudie projeku č. 5983). Třinec : TŽi a.s. SA - Sředisko auomaizace, červen-říjen s. MORÁVKA, J. 999b. Hierarchický disribuovaný sysém řízení aglomeračního procesu. Diserační práce. Osrava : KATŘ FS VŠB-TU Osrava, září s. MORÁVKA, J. 2. Základní rozbor možnosí saisického zpracování echnologických da ZPO. Úvodní sudie.eapy projeku č.54 Saisické zpracování echnologických da ZPO. Třinec : SPPČ TŽi, a.s., březen 2. 8 s. SEGER, J., HINDLS, R. & HRONOVÁ, S Saisika v hospodářsví..vyd. Praha : ETC, s. ISBN SWOBODA, H Moderní saisika. I.vyd. Praha : Svoboda, s. ŠULC, B Teorie auomaického řízení s počíačovou podporou..vyd. Praha : skripa FS ČVUT Praha, s. ISBN TŮMA, J Složié sysémy řízení I. Regulace sousav s náhodnými poruchami..vyd. Osrava : skripa FS VŠB-TU Osrava, s. VÍTEČEK, A Maemaické meody auomaického řízení (Transformace L a Z)..vyd. Osrava : skripa FSE VŠB Osrava, s.