Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.

Transkript

1 4 Inegrace subsiucí 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Inegrály, keré nelze řeši pomocí základních vzorců, lze velmi časo řeši subsiuční meodou Vzorce pro derivace elemenárních funkcí a věy o derivaci souču a součinu funkcí nám v kapiolách a umožnily naléz vzorce, resp meody pro výpoče někerých neurčiých inegrálů V éo kapiole pro výpoče využijeme věu o derivaci složené funkce Pomocí ní získáme věu, kerá nám poskyne jednu z nejdůležiějších a nejčasěji používaných meod inegrování subsiuční meodu Připomínáme, že neeisuje univerzální návod, kdy subsiuční meodu použí, ani jakou subsiuci zvoli Doporučujeme pečlivě prosudova uo kapiolu a propočía si řešené úlohy Důležié je získa zkušenosi se subsiuční meodou samosaným řešením věšího množsví příkladů Cíle Seznámíe se s principem inegrace subsiuční meodou a se základními ypy inegrálů, keré lze ouo meodou vypočía Předpokládané znalosi Předpokládáme, že znáe pojem primiivní funkce k dané funkci, znáe základní inegrály uvedené v abulce a umíe vypočía jednoduché inegrály úpravou inegrované funkce (inegrandu) Bude užíváno pravidlo pro výpoče derivace složené funkce, diferenciálu funkce jedné proměnné a inverzní funkce Výklad Velmi časo se vyskyují inegrály ypu ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d nebo inegrály, keré se dají na eno var upravi Teno var má například inegrál sin( + ) d V omo případě je f ( u) = sinu, = ϕ( ) = +, a edy u = ϕ ( ) = u Všimněe si, že inegrovaná funkce má yo vlasnosi: - Je součinem dvou funkcí f ( ( ) ) ϕ a ϕ ( ) - 9 -

2 4 Inegrace subsiucí - První z nich je složená funkce s vnější funkcí f a vniřní funkcí ϕ Druhá je derivací vniřní funkce Předpokládejme, že funkce f ( u ) je spojiá na inervalu ( α, β ) a funkce u = ϕ( ) má derivaci ϕ ( ) na inervalu ( ab, ), a nechť pro každé ( ab, ) plaí ϕ( ) ( αβ, ) (funkce ϕ ( ) zobrazuje inerval ( ab, ) do inervalu ( α, β ) ) Proože funkce f ( u ) je spojiá na inervalu ( α, β ), má na něm spojiou primiivní funkci Fu ( ), akže plaí f ( u) = F ( u) Funkce Fu ( ) je na uvedeném inervalu složenou funkcí F( ϕ ), edy pro derivaci složené funkce plaí: [ ] F( ϕ( )) = F ( u) ϕ ( ) = f( u) ϕ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) To znamená (podle definice ), že funkce F( ϕ ( )) je primiivní funkcí k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) a edy f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ ( )) = F( u) = f ( u) du Získaný výsledek zformulujeme ve věě: Věa 4 (Inegrování subsiuční meodou ϕ ( ) = u ) Nechť Fu ( ) je primiivní funkce ke spojié funkci f ( u ) na inervalu ( α, β ) Nechť má funkce u = ϕ( ) derivaci ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) a nechť pro každé ( ab, ) plaí ϕ( ) ( αβ, ) Poom je funkce F( ϕ ( )) primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( ab, ) Tedy plaí f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du Poznámka Vzorec ve věě 4 si zapamaujeme velmi snadno V inegrálu f ( ϕ( )) ϕ ( ) d položíme u = ϕ( ) (provedeme subsiuci) Diferencováním dosaneme du = ϕ ( ) d Takže za výraz ϕ ( ) d v daném inegrálu můžeme formálně dosadi du - 0 -

3 Tvrzení věy 4 můžeme přehledně shrnou: Subsiuce ypu ϕ ( ) = u f ϕ( ) ϕ ( ) d Máme vypočía inegrál ypu ( ) Jsou-li splněny předpoklady věy 4, položíme (provedeme subsiuci) ϕ ( ) = u Diferencováním éo rovnice dosaneme ϕ ( ) d = du Daný inegrál edy převedeme na var f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) d u Posup bude úspěšný, pokud umíme vypočía inegrál f ( u) du 4 Inegrace subsiucí Řešené úlohy Příklad 4 Vypočěe inegrál sin( + ) d Je zřejmé, že pro všechna (, ) je d diferenciál funkce + Proo položíme u = + = ϕ( ), a edy du = d = ϕ ( ) d Funkce f ( u) = sin u je spojiá pro všechna u (, ) a má na omo inervalu primiivní funkci Fu ( ) = cosu Jsou splněny předpoklady věy 4, proo plaí: sin( + ) d = sin udu = cos u + C = cos( + ) + C Příklad 4 Vypočěe inegrál sin cos d Je zřejmé, že pro všechna (, ) je cos d diferenciál funkce sin Proo položíme u = sin, poom du = cos d 4 4 u sin sin cos d= u= sin = u du= + C = + C 4 4 du = cos d Příklad 4 Vypočěe inegrál f ( a + b) d pro a 0, (vzorec [6] v abulce ) - -

4 4 Inegrace subsiucí O planosi vzorce [6] v abulce jsme se mohli snadno přesvědči derivováním Ke sejnému výsledku můžeme dospě subsiucí Je-li funkce f ( u ) spojiá na inervalu ( α, β ), má na něm spojiou primiivní funkci Fu ( ) Vniřní funkce u = ϕ( ) = a+ b má na inervalu (, ) nenulovou derivaci ϕ ( ) = a pro a 0, a proo f ( a + b) d = f ( a + b) a d = u = a + b = f ( u) du = F( u) + C = F( a + b) + C a a a du = ad a Podle ohoo vzahu dosáváme: d = ln C ( a + b = + 7= u a + 5 f( u) = ), u 5 4 ( ) 5 ( ) d = + C = ( ) + C ( a + b = + = u a 5 0 e d= e + C ( a b u a + = = f ( u) = e ) u f ( u) 4 = u ), Příklad 44 Vypočěe inegrál 5+ d u 5+ d= u = 5+ = 5+ d= u du = + C = u + C du = d = ( ) = C Příklad 45 Vypočěe inegrál cog d cog cog cosu d = u = = d = cogu du = du = = sinu = sin u d = cosudu du = d = d = ln + C = ln sinu + C = ln sin + C - -

5 4 Inegrace subsiucí Míso druhé subsiuce bylo možno přímo použí vzorec [] v abulce Příklad 46 Vypočěe inegrál sin d Při výpoču inegrálu sin d se musíme omezi na nějaký inerval, v němž se sin nikdy nerovná nule (pro jednoduchos např na (0, π ) ) Pro úpravu inegrandu použijeme vzah sin α = sinαcosα d = d = u = = du = du sin sin cos sin u sin cos u u cos u cosu du = d = π = du pro u (0, ) gucos u Jelikož Dosaneme cos u je derivace funkce gu, provedeme subsiuci = gu (edy > 0 ) d = du = = g u = d = ln + C = ln + C = ln g u C sin gucos u du d = cos u + = = ln g + C Výklad Podle věy 4 jsme inegrál ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d subsiucí ϕ ( ) = u převedli na inegrál f ( u) du V někerých případech je vhodné zvoli opačný posup Máme vypočía inegrál f ( d ) Subsiucí = ϕ() (edy d = ϕ () d ) se snažíme eno inegrál převés na inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d, kerý může bý jednodušší Oázkou - -

6 4 Inegrace subsiucí je, zda po nalezení primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) dovedeme nají primiivní funkci k funkci f ( ) Je o možné, pokud vedle předpokladů věy 4 ješě plaí: - funkce ϕ ( ) je na inervalu ( α, β ) ryze monoónní, - pro každé ( α, β ) je ϕ () 0 Za uvedených předpokladů k funkci = ϕ( ), ( α, β ) eisuje inverzní funkce ϕ = ( ) = ψ( ) pro ( ab, ) a ao inverzní funkce má derivaci ψ ( ) = ϕ () Je-li G () primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( α, β ), pak plaí G () = f( ϕ()) ϕ () Složená funkce F( ) = G( ψ ( )) definovaná na inervalu ( ab), je na omo inervalu primiivní funkcí k funkci f ( ), proože podle věy o derivaci složené funkce plaí: F ( ) = G ( ) ψ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ) = f( ϕ( )) = f( ) ϕ () Získaný výsledek zformulujeme ve věě: Věa 4 (Inegrování subsiuční meodou = ϕ( ) ) Nechť funkce = ϕ( ) zobrazující inerval ( α, β ) na inerval ( ab, ) je rosoucí, popř klesající, na inervalu ( α, β ) a má am spojiou derivaci ϕ ( ) 0 a nechť funkce = ψ ( ) je inverzní funkce k funkci = ϕ( ) na inervalu ( ab, ) Je-li f ( ) spojiá funkce na inervalu ( ab, ) a je-li G ( ) primiivní funkce k funkci f ( ϕ( )) ϕ ( ) na inervalu ( α, β ), poom pro všechna ( ab, ) plaí f ( d ) = f( ϕ()) ϕ () d= G () + C= G( ψ( )) + C Tvrzení věy 4 můžeme přehledně shrnou: Subsiuce ypu = ϕ() d Máme vypočía inegrál ypu f ( ) Jsou-li splněny předpoklady věy 4, položíme (provedeme subsiuci) = ϕ() Diferencováním éo rovnice dosaneme d = ϕ () d Daný inegrál edy převedeme na var - 4 -

7 4 Inegrace subsiucí f ( d ) = f( ϕ ( )) ϕ ( ) d Posup bude úspěšný, pokud umíme vypočía inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Poznámka Při výpoču inegrálů subsiuční meodou obvykle počíáme podle vzorce z věy 4 nebo 4, dokud nenalezneme primiivní funkci Obvykle eprve poom zkonrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použié věy O správnosi výsledku se můžeme snadno přesvědči derivováním nalezené primiivní funkce Řešené úlohy Příklad 47 Vypočěe inegrál 4 d Funkce = je spojiá pro (,) Zavedeme subsiuci = sin, f ( ) 4 d = cos d Je však nuno omezi proměnnou ak, aby bylo možno naléz funkci inverzní π = arcsin Pro (0, ) bude (0,) a funkce ϕ ( ) = sin bude mí rosoucí nenulovou derivaci ϕ () = cos Dosaneme 4 d = = sin = 4 4sin cos d = 4 sin cos d = d = cos d + cos = 4 cos d= 4 d= (+ cos ) d = sin = + + C = + sin cos+ C = + sin sin + C = 4 = arcsin + + C = arcsin + + C Při výpoču jsme použili vzorce α + cosα cos = a sin α = sinαcosα - 5 -

8 4 Inegrace subsiucí π Analogický výsledek bychom dosali pro (,0), kdy (,0) Příklad 48 Vypočěe inegrál sin d Inegrovaná funkce je definována pro < 0, ) Provedeme subsiuci =, abychom odsranili odmocninu v inegrandu Ze subsiuce vyplývá, že = nebo = Zvolíme =, akže je z inervalu (0, ) Dosaneme sin d = = = sin d d = d Získaný inegrál řešíme meodu per pares podobně jako příklad : u = sin v= sin d = = ( cos+ cos d) = ( cos+ sin ) C u = cos v = + = = (sin cos ) + C Sami vyzkoušeje, že pro volbu = j (,0) dosaneme sejný výsledek Příklad 49 Vypočěe inegrál d + Funkce + je spojiá pro (, ) Položíme (0, π ) klesající a zobrazuje eno inerval na inerval (, ) = cog Funkce co g je pro d = = cog = d = = cog sin + sin cos sin + + d = d sin sin d sin = d = d sin sin, neboť pro (0, π ) je sin > 0 Dosali jsme inegrál, kerý jsme řešili v příkladu

9 4 Inegrace subsiucí d = ln g + C = ln g arccog C sin + Poznámka Pokud zadáme inegrál nějakému maemaickému programu (např Derive, Maple, Mahemaica), získáme výsledek + + Na první pohled se zdá, že se jedná o úplně ln( ) jinou funkci Derivováním se však snadno přesvědčíme, že výsledek je správný Znamená o, že programy použily jinou meodu výpoču, než jsme uvedli my V lierauře [9] lze naléz posup, jak převés jeden výsledek na druhý Druhé řešení můžeme dosa následujícím posupem: Provedeme subsiuci + = Po umocnění uvedené rovnice snadno vypočeme = a edy Dosazením do inegrálu dosaneme: d ( + ) = d = d = ln + C = ln + C d = d 4 Jelikož je výsledek + + > 0, dosaneme ln + + = ln( + + ), což je hledaný Poznámka Použiá subsiuce paří mezi Eulerovy subsiuce použielné při výpoču složiějších inegrálů z racionální funkce, kerá navíc obsahuje výraz ypu naleznee v lierauře [6], [9], [4], [7] a + b + c Podrobnější informace Příklad 40 Vypočěe inegrál d + Funkce + je definována pro < 0, ) Ve funkci se vyskyují mocniny, Zavedeme subsiuci k = ak, abychom odsranili všechny odmocniny ve výrazu - 7 -

10 4 Inegrace subsiucí V našem případě bude k nejmenší společný násobek čísel a Pro 6 = bude = a = Analogicky jako v příkladu 48 budeme voli = 6 pro < 0, ) d = = = 6 d = 6 d = 6 ( :( + ) ) d = d = 6 d = d = arcg + C = = arcg 6 + C 7 5 Konrolní oázky Uveďe princip subsiuční meody Kdy a za jakých podmínek použijeme subsiuci ypu ϕ ( ) = u? Kdy a za jakých podmínek použijeme subsiuci ypu = ϕ()? sin 4 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? cos 5 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu cos sin d? 6 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu 7 Jakou subsiuci zvolíe při výpoču inegrálu d? d? a) Úlohy k samosanému řešení d) + d b) d e) d ( + 4) 6 4 d + 5 d f) 7 d 4 ln a) d b) cos sin d cos sin d) e sin d e) d + cos f) g d cos ln d ln - 8 -

11 4 Inegrace subsiucí a) d) g d b) arcg d + e) e d e arcg e d f) + e sin sin + d sin cos d 4 sin + cos 4 a) d) 4+ 9 d b) d e) ln ln d arccos d f) ( g ) ln d sin cos arcg d a) d) d 6 b) d e) d + cos d f) ( ) d d 9 + d Výsledky úloh k samosanému řešení 4 C a) ( ) ; b) ( ) C 9 8 C + C ; ; ( ) ; d) ( ) e) ln 5 + C ; f) ( ) 7 + C a) ln 5 + C ; b) g + C ; d) e cos +C ; e) + cos + C ; f) a) ln cos + C ; b) ( ) ln + arcg + C ; e) d) ( ) 4 a) arcg ln e) arccos cos 4 + C ; 4 ln ln + C e + C; ln ( sin + ) + C ; arcg + C ; b) ( ln ) C + C; f) b) 4 4ln( ) e + ; ( ) arcg 4 + C; f) ( ) cos + sin 4 + C ln g + +C; + C ; d) ln arcsin + C ; C 5 a) 6 + 6ln( + ) + C; + arcg + C ; - 9 -

12 4 Inegrace subsiucí d) 9 9 arcsin + + C ; e) ( sin ) cos sin + + C; f) ln g arccog + C Konrolní es Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu d? ln a) =, b) ln =, ln =, d) ln = Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) cos =, b) sin =, cos =, d) sin = Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) =, b) =, 4 =, d) 4 = 4 Jakou subsiuci použijee při výpoču inegrálu a) e =, b) e =, sin cos d? d + 4? e? e + e =, d) e + = 5 Vypočěe neurčiý inegrál ( + ) e d C ) a) e, b) ( + e e + C, e C, d) e 4 5 C

13 4 Inegrace subsiucí 6 Vypočěe neurčiý inegrál d 9 a) arcs in + C, b) ln arcsin + C, arcsin + C, d) 9 ln 7 Vypočěe neurčiý inegrál d cos g a) g + C, b) g + g + C, ln g + C, d) g + C 8 Čemu se rovná neurčiý inegrál d? + a) ( ) + + C, b) ( ) C, ( ) ln C, d) 9 Čemu se rovná neurčiý inegrál a) sin sin + C, b) ( ) C cos d? sin + sin + C, sin + C, d) sin + + C 0 Čemu se rovná neurčiý inegrál e a) ln ( e + 4) +C, b) arcg e d? e + 4 e e e arcg + C, d) arcg + C, + C Výsledky esu b); a); d); 4 b); 5 d); 6 ; 7 a); 8 b); 9 a); 0 d) - 4 -

14 4 Inegrace subsiucí Průvodce sudiem Pokud jse správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračuje další kapiolou V opačném případě je řeba prosudova kapiolu 4 znovu a propočía další úlohy k samosanému řešení Shrnuí lekce Při výpoču inegrálů je časo používána subsiuční meoda Subsiuční meodou lze řeši dva ypy úloh V prvním ypu inegrálů se snažíme inegrand upravi na dva činiele, z nichž jeden je složenou funkcí proměnné s vniřní funkcí ϕ ( ) a druhý je derivací éo funkce ϕ ( ) Tedy se snažíme inegrál upravi na var f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Jesliže nyní položíme ϕ ( ) = u, je ϕ ( ) d = du a daný inegrál převedeme na inegrál f ( u) du Méně časo používáme druhý yp subsiuce Inegrál f ( ) d lze někdy subsiucí = ϕ(), a edy d = ϕ () d, převés na jednodušší inegrál f ( ϕ( )) ϕ ( ) d Uvedené meody budou úspěšné, pokud umíme vypočía nové inegrály Teno posup lze realizova, pokud jsou splněny podmínky uvedené ve věách v éo kapiole Při výpoču inegrálů subsiuční meodou obvykle počíáme formálně podle uvedených vzahů, dokud nenalezneme primiivní funkci Obvykle eprve poom zkonrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použié věy O správnosi výsledku se můžeme snadno přesvědči derivováním nalezené primiivní funkce Úspěch při inegrování subsiuční meodou závisí na obranosi a zkušenosi, abychom dopředu viděli, na jaký inegrál určiou subsiucí upravíme původní inegrál, případně jak inegrál upravi, abychom v inegrované funkci viděli var f ( ϕ( )) ϕ ( ) V někerých případech můžeme inegrál řeši pomocí různých subsiucí - 4 -