( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem."

František Beran
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro cos x cos x cos x + x cos x cos x sin x sin x cos x sin x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro + tg ( x + x) Tím jsme získali druhou skupinu vzorců: Vzorce pro dvojnásobný úhel: sin x sin x cos x cos x cos x sin x Př : Otestuj vzorec pro sin x výpočtem sin 0 z hodnot goniometrických funkcí pro úhel 0 sin 0 sin ( 0 ) sin 0 cos0 Př : Otestuj vzorec pro cos x, pomocí výpočtu cos z hodnot goniometrických funkcí pro úhel cos cos cos sin 0

2 Př : Vyjádři cosx pomocí sin x a cos x cos x cos x + x cos x cos x sin x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x Př 7: Vyjádři sin x pomocí sin x a cos x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x cos x + cos x sin x sin x sin cos + sin cos sin sin cos sin x x x x x x x x Postřeh: Ve vzorcích pro sin x a cos x tvoří pravou stranu členy dávající druhé mocniny goniometrických funkcí, ve vzorcích pro sin x a cosx jsou na pravé straně třetí mocniny Zřejmě je v tom nějaká zákonitost Více později Př 8: Urči hodnoty goniometrických funkcí sin x, cos x,, sin x a cos x, jestliže platí sin x a x ; Abychom mohli použít vzorce pro dvojnásobný úhel, musíme znát hodnotu sin x i cos x nejdříve určíme cos x : sin x + cos x cos x sin x cos x sin x 9 9 V intervalu ; je cos 0 x < cos x sin x sin x cos x 9 cos x cos x sin x sin x 9 cos x 9 Hodnoty sin x a cos x určíme podle již určených hodnot sin x a cos x 8 sin x sin ( x) sin x cos x cos x cos ( x) cos x sin x

3 Př 9: Petáková: strana, cvičení 9 c) strana, cvičení 0 a) strana, cvičení a), c) Př 0: Urči definiční obor výrazů v rovnosti a dokaž její platnost sin x a) cos x sin x b) + cos x cos x c) + sin x + a) cos x sin x x R cos x sin x sin x cos x + sin x sin x sin x + sin x sin x sin x sin x sin x b) + cos x Levá strana: zlomek nesmíme dělit nulou + cos x 0 cos x x + k x + k Pravá strana: x + k x R + k sin x sin cos sin x x x + cos x + cos x sin x cos x sin x cos x sin x sin x + cos x cos x sin x cos x sin cos sin x x x cos x + cos x cos x cos x sin x sin x cos x cos x c) cos x + sin x + Levá strana: zlomek nesmíme dělit nulou + sin x 0 sin x x + k x + k

4 Pravá strana: x + k, nesmíme dělit nulou + 0 x + k x R + k ; + k sin x cos x cos x sin x cos x + sin x + sin x cos x + sin x + cos x cos x sin x ( cos x sin x)( sin x + cos x) cos x sin x + cos x + sin x cos x cos x + sin x cos x ( cos x sin x)( sin x + cos x) cos x sin x sin x + cos x cos x + sin x cos x sin x cos x sin x cos x + sin x cos x + sin x Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + a) x R sin x + cos x sin x sin x + cos x sin x sin x + sin x cos x + cos x sin x cos x sin x + cos x sin x + cos x sin x b) cos x + cos x + Zlomek nesmíme dělit nulou výraz je příliš složitý, počkáme na stav po úpravách sin x + cos x sin x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x( + cos x) cos x + cos x + cos x + cos x sin x + cos x + sin x cos x + cos x sin x cos x( + cos x) sin x cos x + cos x Čitatel zlomku před krácením: cos x( cos x) + cos x 0 x + k + cos x 0 cos x x + k x R + k ; + k

5 Př : Petáková: strana, cvičení e), j), k), t), z) strana, cvičení d), g), l) Př : Vyřeš rovnici sin x sin x 0 Problém: Uvnitř každého sinu je jiné číslo použijeme vzorec pro sin x a pak dořešíme sin x sin x 0 sin x sin x cos x 0 sin x cos x 0 Součinový tvar: sin x 0 K + k 0 k Z { } K k ; + k ; + k ( x) cos 0 cos x cos x K + k ; + k Př : Vyřeš rovnici sin x cos x Problém: Na levé straně součin sin x a cos x, vpravo není nula nejde na součinový tvar Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin x zkusíme vzorec zkompletovat a tak získat rovnici s jedinou goniometrickou funkcí sin x cos x / sin x cos x (použijeme sin x cos x sin x ) sin x Substituce: a x sin a a + k a + k Návrat k původní proměnné: x a + k x a + k x + k / : x + k / : x + k x + k

6 K + k K + k K + k ; + k Př : Vyřeš rovnici cos x + cos x 0 Problém: Uvnitř každého cosinu je jiné číslo použijeme vzorec pro cos x a pak dořešíme cos x + cos x 0 cos x sin x + cos x 0 cos x cos x + cos x 0 cos x + cos x 0 Substituce: y + y 0 y cos x b ± b ac ± ± y, a + y y Návrat k původní proměnné: y cos x y cos x třetinové úhly v kladné K { + k } k Z polorovině osy x x + k, x + k K + k ; + k K + k ; + k ; + k Př : Vyřeš rovnici sin x cos x 0 + Problém: Uvnitř obou funkcí je jiné číslo, navíc obě čísla jsou poměrně velká (nemáme na ně vzorce) substituce Substituce: y x sin y cos y 0 + teď můžeme použít vzorec sin y sin y cos y sin y cos y + cos y 0 / : sin y cos y + cos y 0 cos y sin y + cos y 0 součinový tvar cos y 0 sin y + cos y 0 sin y cos y / : cos y v této větvi cos y 0 y + k

7 Návrat k původní proměnné: y x + k x + k / : x + k K k ; k + + sin y tg y cos y y + k y x + k x + k / : x + k Př 7: Vyřeš rovnici + co cos x Problém: Různé funkce, různé výrazy uvnitř funkcí přepíšeme a co pomocí sin x a cos x sin x cos x + cos x cos x sin x sin x + cos x cos x cos xsin x cos x (jmenovatel zlomku připomíná sin sin cos cos xsin x x x x ) cos x sin x cos x cos x sin x (vzorec sin x sin x cos x použijeme ještě jednou) sin x Substituce: a x sin a a + k Návrat k původní proměnné: a x + k x + k / : x + k 8 K + k 8 Př 8: Vyřeš nerovnici sin x cos x > Problém: Na pravé straně není nula nemůžeme řešit jako nerovnici v součinovém tvaru 7

8 Nápad: Vlevo je téměř celý vzorec pro sin x (s dvojnásobným argumentem) zkusíme vzorec zkompletovat a tak získat nerovnici s jedinou goniometrickou funkcí sin x cos x > / : sin x cos x > sin x > Substituce: a x sin a > Základní řešení rovnice sin a : a + k, a + k a a - 7 Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ;, hodnoty se opakují s periodou 7 K ; k Z Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů) a x + k a x + k x + k / : x + k / : x + k x + k K k ; k + + k Z Př 9: Vyřeš nerovnici cos x sin x Na první pohled jasné řešení: cos x ( cos x) 8

9 cos x + problém číslo na pravé straně po odmocnění nebude patřit mezi tabulkové hodnoty budeme muset používat arccos zkusíme se vrátit k původnímu zadání: cos x sin x Nápad: Levá strana tvoří vzorec cos x cos x sin x cos x trivialitka Substituce: a x cos a Základní řešení rovnice cos a : a + k, a + k (šestinové úhly v kladné polorovině x) a a - Řešením nerovnice jsou všechna čísla v intervalu ;, hodnoty se opakují s periodou K ; k Z Návrat k původní proměnné: (přepočítáme meze a periodu intervalů) a x + k a x + k x + k / : x + k / : x + k x + k K + k ; + k k Z Př 0: Nakresli graf funkce y sin x cos x Problém: Funkce vznikla jako součin dvou goniometrických funkcí museli bychom nakreslit oba grafy a násobit je mezi sebou 9

10 Postřeh: Předpis funkce připomíná vzorec sin x sin x cos x, funkci y sin x bych nakreslil snadno y sin x cos x sin x cos x sin x kreslíme graf funkce y sin x Platí: y sin ( x) f ( x) Zvolíme x Vypočteme x y f x sin x Nakreslíme funkci Nakreslíme funkci y f ( x) sin ( x) - Př : Petáková: strana, cvičení d) strana, cvičení a), d) strana, cvičení a), d), g) strana, cvičení c) strana, cvičení 7 d), f), g) strana, cvičení 8 a) strana, cvičení 9 d) Shrnutí: 0

Podobné dokumenty

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x

( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x 9 Vzorce pro dvojnásobný úhel II Předpoklady: 08 Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + sin x + cos x sin x a) x R sin x + cos