4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I

Transkript

1 4..7 Zvedení funkcí sinus cosinus pro orientovný úhel I Předpokldy: 40, 40, 404, 406 Prolém s definicí funkcí sin ( ) cos( ) : Definice pomocí prvoúhlého trojúhelníku je π možné použít pouze pro ( 0 ;90 ) (v oloukové míře 0; ) potřeujeme jinou definici, která musí splnit tyto poždvky: cos pro. Umožní určit hodnoty sin ( ) ( ) π Pro 0; definice zručí stejné hodnoty funkcí jko definice pomocí prvoúhlého trojúhelník. Protože jde o funkci úhlu prktická relizce úhlu se opkuje po π, měly y se hodnoty ndefinovných funkcí tké opkovt s touto nejmenší periodou. Pro novou definici použijeme jednotkovou kružnici (kružnice o poloměru ). - S - Do kružnice nkreslíme úhel o velikosti, s počátečním rmenem S. - S -

2 Př. : Nkresli do orázku prvoúhlý trojúhelník pomocí jeho strn urči hodnoty funkcí cos pro úhel. sin ( ) ( ) - S - Strn S je poloměrem kružnice proto pltí S =. Vypočteme hodnoty sin ( ) ( ) protilehlá přepon cos podle stré definice: sin ( ) = = = cos ( ) přilehlá = = = přepon Už je jsné, proč jsme použili jednotkovou kružnici: Nemusíme počítt poměry, stčí změřit odvěsny trojúhelník získáme hledné hodnoty. Dokážeme nkreslit orázek i pro úhly větší než π? Sndno, le v orázku už neudeme mít trojúhelník s úhlem. Je možné interpretovt úseky jink než jko délky odvěsen v trojúhelníku? Ano, úsečky můžeme interpretovt tké jko souřdnice odu. Bod ude mít souřdnice i π pro úhly pokud udeme funkce sin ( ) cos( ) interpretovt jko souřdnice π odu, udeme schopni určit hodnoty sin ( ) cos( ) i pro. Hodnotou funkce sin ( ) rozumíme y-vou souřdnici odu n nšem náčrtku. Hodnotou funkce cos( ) rozumíme -vou souřdnici odu n nšem náčrtku. to definice vyhovuje všem třem poždvkům z úvodu hodiny.

3 sin() - S cos() cos() sin() - Př. : Urči pomocí jednotkové kružnice hodnoty funkcí sin ( ) ( ) cos pro úhly: π ) = ) = π c) = π d) = π. [0 ;] sin() - S [ -;0] - cos() S - π π sin =, cos = 0 - sinπ = 0, cosπ =

4 - S sin() cos() - S [ ;0] - [0 ;-] sin π =, cos 0 π = - sin π = 0, cos π = Jk určit hodnoty pro úhly různé od násoků π? Př. : Urči hodnoty funkcí sin ( ) cos( ) pro = 0. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) cos( ) (souřdnice odu ): sin() 0 - cos() S - Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem z něj dopočteme délky odvěsen cos ). (hodnoty sin ( ) ( ) 4

5 sin() cos() S - Souřdnice odu můžeme určit pomocí odvěsen v tmvomodrém trojúhelníku. = sin 60 = sin 60 = sin0 je kldný jeho velikost se rovná sin0 =. = cos 60 = cos 60 = cos0 je záporný (je nlevo od počátku) jeho velikost se rovná cos0 =. Hodnoty goniometrických funkcí můžeme určit i jink. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) cos( ) : sin() 0 - cos() S - Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem, jehož odvěsny tvoří souřdnice odu. K tomuto trojúhelníku njdeme podoný trojúhelník v prvním kvdrntu. 5

6 sin() 0 sin(60 ) cos() Scos(60 ) Z orázku je (kvůli shodnosti oou vyrvených trojúhelníků) vidět, že pltí: sin0 = sin 60 = cos0 = cos 60 = ( cos0 je orientován n druhou strnu). - Př. 4: Urči hodnoty funkcí sin ( ) cos( ) pro = 0. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) ( ) cos. Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem, jehož odvěsny tvoří souřdnice odu. - 0 S 0 sin() cos() - Njdeme podoný trojúhelník v prvním kvdrntu. 6

7 - 0 S 0 0 cos(0 ) sin() cos() sin(0 ) Z orázku je (kvůli shodnosti oou vyrvených trojúhelníků) vidět, že pltí: sin 0 = sin 0 =, cos 0 = cos 0 =. - Př. 5: Urči hodnoty funkcí sin ( ) cos( ) pro úhel 5. Nkreslíme si orázek do jednotkové kružnice vyznčíme sin ( ) ( ) cos. Njdeme v orázku prvoúhlý trojúhelník se známým úhlem, jehož odvěsny tvoří souřdnice odu. 5 S - 45 sin() cos() - Njdeme podoný trojúhelník v prvním kvdrntu. 7

8 - 5 S sin(45 ) cos(45 ) sin() Z orázku je (kvůli shodnosti oou vyrvených trojúhelníků) vidět, že pltí: sin 5 = sin 45 =, cos 5 = cos 45 =. cos() - Shrnutí: ( ) sin zvádíme jko y-ovou souřdnici odu, který vznikne n jednotkové kružnici jko průsečík s koncovým rmenem orientovného úhlu. 8