Cvičení 4. negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence. a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky. 1) [p (p q)] [( p q) (q p)]

Transkript

1 Cvičení 4 negace konjunkce disjunkce implikace ekvivalence a) Najděte UDNF, UKNF a stanovte log. důsledky 1) [p (p q)] [( p q) (q p)] p q p q p q q p p A B C D E UEK UED A B C D E F p q p q p q p q - Sloupec F výsledek dané formule. UEK sestavujeme pro řádky, kde je výsledné ohodnocení =1. Pro vstupní elementární výroky dosadíme symbol výroku tam, kde je vstupní hodnota =1, pro vstupní hodnotu =0 dosadíme symbol negovaný. Spojkou mezi elementárními výroky je konjunkce. UED sestavujeme pro řádky, kde je výsledné ohodnocení =0. Pro vstupní elementární výroky dosadíme symbol výroku tam, kde je vstupní hodnota =0, pro vstupní hodnotu =1 dosadíme symbol negovaný. Spojkou mezi elementárními výroky je disjunkce. UDNF (disjunkce, elementárních konjunkcí) ( p q) ( p q) (p q) (p q) UKNF (konjunkce, elementárních disjunkcí) Protože je formule tautologií nemá UKNF (Poznámka: kdyby byla formule kontradikcí nemá UDNF!)

2 2) [( p q) (q p)] [p (p q)] (V podstatně se jedná o stejný příklad s obrácenou implikací, pokud by vyšel stejný výsledek, pak můžeme symbol implikace nahradit ekvivalencí. Uvědomte si rozdíl mezi implikací a ekvivalencí.) p q p q p q q p p A B C E D UEK UED A B C D E F p q p q p q p q - Sloupec F výsledek dané formule. UDNF (disjunkce, elementárních konjunkcí) ( p q) (p q) (p q) UKNF (konjunkce, elementárních disjunkcí) p q Logické důsledky jsou zapsány v UKNF. 3) (p q) ( p q) p q (p q) p q (p q) ( p q) UEK UED p q p q p q p q UDNF= ( p q) ( p q) - ověření p q (p q) ( p q) ( p q) ( p q) UKNF= ( p q) ( p q) - ověření p q (p q) ( p q) ( p q) ( p q)

3 4) (p q) ((q r) (p r))... dále je pro zjednodušení formule označena * b) Rezoluce p q r (p q) ((q r) (p * UEK UED r)) p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r Formule je tautologií, proto nelze vytvořit UKNF. UDNF... (p q r) (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) Postup rezoluce: Negujeme závěr a přidáme ho do množiny předpokladů (formulí) Formule upravíme tak, aby obsahovaly pouze konjunkce a disjunkce a negace u elementárních výroků. Tedy formuli převedeme do konjunktivní normální formy, která se zde nazývá klauzulární forma Disjunkce pak zapisujeme do řádků, konjunkce pod sebe objeví-li se konjunkce, pak ji rozepíšeme na dva řádky Používáme jediné odvozovací pravidlo, hledáme dva řádky, kde jeden obsahuje literál a druhý jeho negaci, z těchto řádků sepíšeme zbývající literály jako novou klauzuli, tj. jejich disjunkci, rezolventu Příklad: 1. p u 2. s u 3. s p rezoluce 1. a 2... sepsali jsme rezoluci řádku 1., 2. pokud již není co sepsat dosáhli jsme konce rezoluce značíme jej a prohlásíme, že úsudek je platný Příklad: 1. u 2. u 3. rezoluce 1. a 2... úsudek je platný

4 1) Jestliže studuji, dosáhnu dobrého postavení. Jestliže nestuduji, užívám si. Dosáhnu dobrého postavení, nebo si užívám. s p s u p u 1. s p.. přepis prvního předpokladu 2. s u.. přepis druhého předpokladu 3. p.. negovaný závěr ( p u) obsahoval konjunkci 4. u proto se rozepsal na dva řádky 5. p u rezoluce soupis zbývajících, vynechání s a s 6. u rezoluce rezoluce úsudek je platný 2) Není pravda že uchazeč umí anglicky i německy. (a n) Uchazeč neumí anglicky. a Uchazeč neumí německy n 1. a n.. první předpoklad 3. a.. druhý předpoklad 4. n.. negovaný závěr 5. a rezoluce (Dále nelze pokračovat, úsudek není platný) 3) Neběží-li motor, je vada v motoru nebo nejde proud. m (v p) m v p Je-li vada v motoru, je třeba volat opraváře. v o Proud jde. p Neběží-li motor, je třeba volat opraváře. m o 1. m v p.. první předpoklad 2. v o.. druhý předpoklad 3. p.. třetí předpoklad 4. m.. negovaný závěr 5. o 6. m v rezoluce v rezoluce v rezoluce rezoluce úsudek je platný

5 4) Jestliže pracuji, potom vydělávám peníze (p m) ( l u ) ale jestliže jsme líný, pak si užívám. Buď pracuji nebo jsem líný. (p l) Nicméně, jestliže jsem líný, pak nevydělávám, ( l m) (p u) zatímco jestliže pracují, pak si neužívám. Proto si užívám. u (Vysvětlení: p pracuji, m vydělávám peníze, l jsem líný, u užívám si) Úpravy: (p m) ( l u ) ( p m) ( l u ) (p l) [(p l) (l p)] (p l) (l p) [p (l p)] [ l (l p)] (p l) ( p p) (l l) ( l p) (p l) ( l p) ( l m) (p u) ( l m) (p u) 1. ( p m).. první předpoklad 2. ( l u ) 3. (p l).. druhý předpoklad 4. ( l p) 5. ( l m).. třetí předpoklad 6. (p u) 7. u.. negovaný závěr 8. l rezoluce p rezoluce m rezoluce (Úsudek není platný) c) Co všechno vyplývá z následujících předpokladů? 1) p1: Karel pojede autobusem nebo vlakem. a v p2: Jede-li Karel autobusem nebo svým vozem, (a c) (p s) pak přijede pozdě a zmešká schůzku. p3: Karel nepřišel pozdě. p (Vysvětlení: a jede autobusem, v jede vlakem, c jede svým vozem, p přijde pozdě, s zmešká schůzku) Úprava zadání: (a c) (p s) (a c) (p s) ( a c) (p s) ( a p) ( a s) ( c p) ( c s)

6 (Postup: Provedeme rezoluci předpokladu pro všechny možnosti odvození, na otázku co všechno vyplývá máme výsledek původní zadání + všechny odvozené výroky, stejné výroky již znovu neopisujeme) Řešení pomocí rezoluce: 1. a v 2. a p 3. a s 4. c p 5. c s 6. p 7. v p rezoluce v s rezoluce a rezoluce c rezoluce v rezoluce (Vyplývají výroky ), z nichž nejzajímavější jsou ty poslední: a nejel autobusem, c nejel svým vozem, v jel vlakem 2) p1: Je-li úterý, je přednáška a není cvičení. u (p c) p2: Dnes je přednáška i cvičení. p c p3: Je-li cvičení, pak nepotřebujeme projektor. c v (Vysvětlení: u je úterý, p je přednáška, c není cvičení, v potřebujeme projektor) Úprava zadání: u (p c) u (p c) ( u p) ( u c) 1. u p 2. u c 3. p 4. c 5. c v 6. u rezoluce v rezoluce ) p1: Je-li Karel v Praze, je Helena v Brně. k h p2: Je-li úterý, není Helena v Brně. u h p3: Je úterý nebo středa. u s (Vysvětlení: k Karel je v Praze, h Helena je v Brně, u je úterý, s je středa)

7 1. k h 2. u h 3. u s 4. k u rezoluce 1.,2. Je-li Karel v Praze, pak není úterý 5. k s rezoluce 3.,4. 6. h s rezoluce 2.,3. ( k h) s (k h) s (k h) s sloučení 5.,6. Je-li Karel v Praze nebo Helena v Brně, pak je středa.