Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Transkript

1 Logika III. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální fond. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 1 / 15

2 Logika III. Disjunktní a konjunktní normální tvar formuĺı. Splnitelná a sporná teorie. Sémantické stromy. Logický rozbor textu. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 2 / 15

3 Disjunktní normální tvar formule Definice Literál je prvotní formule a její negace. Minterm je konjunkce literálů. Formule je v disjunktním normálním tvaru DNT, jestliže je disjunkce mintermů. Formule je v úplném disjunktním normálním tvaru, jestliže je v DNT a každý minterm obsahuje stejné prvotní formule. Příklady: A, A, B - literály A B, A C B, C - mintermy (A B) ( A C) C - DNT (A B C) ( A B C) - úplný DNT (A B) C - DNT A, A, A B, A B - DNT RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 3 / 15

4 Konjunktní normální tvar formule Definice Klausule je disjunkce prvotních formuĺı nebo jejich negací. Formule je v konjunktním normálním tvaru, KNT, právě když je disjunkce klausuĺı. Formule je v úplném konjunktním normálním tvaru, jestliže je v KNT a navíc každá klausule obsahuje stejné prvotní formule. Příklady: A B, A C B, C - klausule (A B) ( A C) C - KNT (A B C) ( A B C) - úplný KNT (A B) C - KNT A, A, A B, A B - DNT, KNT RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 4 / 15

5 Příklad Nalezněte DNT a KNT následujících formuĺı. (A ( B C)) (A ( B C)) (A ( B C)) (A (B C) ((A B) (A C)) (A B C) (A B C) (A B C) (A ( B C)) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 5 / 15

6 Disjunktní a konjunktní normální tvar Věta Ke každé formuli existuje formule logicky ekvivalentní, která je v DNT, a formule logicky ekvivalentní, která je v KNT. Příklady. (A ( B C)) ( A ( B C)) (( A B) ( A C)) Od KNT k DNT. (A (B C)) ((A B) (A C)) ((G H) ( I J K)) ((G I ) (G J) (G K) ( H I ) ( I J) ( H K)). Kontradicke a tautologie. ((A B) B) ((A B) (B B)) (A B) (A (B B)) A RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 6 / 15

7 Úplný DNT a KNT Věta Ke každé formuli existuje formule logicky ekvivalentní, která je v úplném DNT, a formule logicky ekvivalentní, která je v úplném KNT. Od DNT k úplnému DNT. ((A B) C) ((A B C) (A B C) (A B C) ( A B C) ( A B C)) Od úplného DNT k tabulkám a naopak. ((A B) C) je pravdivá pro pět ohodnocení. < 1, 0, 1 >, < 1, 0, 0 >, < 1, 1, 1 >, < 0, 0, 1 >, < 0, 1, 1 >. Negace DNT je KNT a naopak. ((G H) ( I J K)) ( (G H) ( I J K)) (( G H) (I J K)). RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 7 / 15

8 Příklady Nalezněte DNT a KNT. Určete pro kolik ohodnocení je formule pravdivá. 1 (A (B C)) ( A (B C)) ( A B C) 2 (A (B C)) ( A B C) (A B C) 3 ((A B) C) ( (A B) C) ((A B) C) ((A C) ( B C)) 4 ((A B) C) ((A C) ( B C)) (( A C) (B C) ((A B C)) ( A B C) ( A B C)) 5 ((A B) B) (( A B) B) (( A B) (B B)) B Kdo co učí? Každý kdo neučí matemtiku nebo fyziku, učí češtinu nebo historii. (( M F ) (C D)) ( ( M F ) (C D)) ((M F ) C D) RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 8 / 15

9 Splnitelná a sporná teorie, tautologický důsledek teorie Definition Teorie je množina formuĺı A 1, A 2,...A n. Teorie je splnitelná, právě když existuje ohodnocení prvotních formuĺı, pro něž jsou všechny formule teorie pravdivé. Teorie je sporná, právě když není splnitelná. Formule B je tautologickým důsledkem teorie T, T = B, právě když pro každé ohodnocení, v němž jsou všechny formule teorie pravdivé, je i B pravdivé. Teorie je splnitelná, právě když A 1 A 2...A n je splnitelná formule. Teorie je sporná, právě když A 1 A 2...A n je kontradikce. Formule B je tautologickým důsledkem teorie T, T = B, právě když (A 1 A 2...A n ) B je tautologie neboli právě když (A 1 A 2...A n ) B je kontradikce. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 9 / 15

10 Příklady Jsou následující teorie splnitelné, případně pro jaká ohodnocení? 1 A, A. Sporná teorie. 2 A, B. Splnitelná, pro v(a) = v(b) = 1. 3 A B, A, B (( A B) A B) (A B). Totéž. 4 A B, A C, C D, D A (( A B) (A C) ( C D) ( D A)) (A B C D). Splnitelná pro v(a) = v(b) = v(d) = 1, v(c) = 0. 5 (A B), (B C), (C D), (D A), A (( A B) ( B C) ( C D) ( D A) A) Sporná teorie. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 10 / 15

11 Sémantický strom A B A B A A B A B B (A B) A A A B A B B A B B NDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 11 / 15

12 Sémantické stromy Je tato teorie splnitelná? Pro která ohodnocení? 1 A, A B A A B A B 2 A B, A C, C D, D A 3 (A B), (B C), (C D), (D A), A RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 12 / 15

13 Tautologický důsledek ((A B) (C D) (A C)) = B D konstruktivní dilema ((A B) (C D) (A C)) (B D) - kontradikce? (A B) (C D) (A C) B D B D B A D C A C RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 13 / 15

14 Tautologický důsledek 1 A B, A = B? Modus ponens ((A B) A) B je tautologie? ( A B) A B je kontradikce? Ano, je, modus ponens pochopitelně platí. 2 Štěpán jel buď autobusem (B) nebo vlakem (V). Jestliže jel autobusem nebo vlastním autem (A), přijel pozdě (P). Nepřijel pozdě. Tudíž jel vlakem. B V, (B A) P, P = V? (B V ) (( (B A) P)) P V (B V ) (( B A) P) P V (B V ) ( B P) ( A P) P V. Úvaha je správná. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 14 / 15

15 Příklad Jestliže Jones nepotkal Smithe (J), pak Smith je vrahem (S) nebo Jones lže (L). Jestli Smith není vrahem, pak ho Jones nepotkal a vražda se stala po půlnoci (P). Jestli se vražda stala po půlnoci, pak byl Smith vrahem nebo Jones mluví pravdu. Tudíž je Smith vrahem? J (S L), S (J P), P (S L) = S ( J (S L)) ((S (J P)) ( P S L)) = S ( J S L) (S J) (S P) ( P S L)) S. Ano, Smith je vrahem. Říká-li zahradní katalog pravdu, pak, jestliže zasadíme semena v dubnu, květy budou v červenci. V červenci nejsou květy. Tudíž jestliže jsme zasadili semena v dubnu, je zahradní katalog nepravdivý. Je-li pěkné počasí a obloha je jasná, jdeme se koupat nebo na lodičky. Není tomu tak, že když obloha je jasná, jdeme se koupat. Tudíž, jestliže nejdeme na lodičky, počasí není pěkné. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 15 / 15

16 Sémantický strom Buď svědek mluvil pravdu nebo, jestli Henry spáchal sebvraždu, pak se zápisky nenašly. Jestli svědek mluvil pravdu, pak Henry nespáchal sebvraždu. Jestli se zápisky nalezly, pak se Henry zabil. Je to splnitelná množina formuĺı? Co je její tautologický důsledek? Dokažte! S (H Z), S H, Z H (S (H Z)) (S H) (Z H) - splnitelná formule? (S H Z) ( S H) ( Z H) - KNT Sémantický strom. ( Z S) ( Z H) (H S Z) - DNT Zápisky se nenašly. Ověříme. (S H Z) ( S H) ( Z H) = Z (S H Z) ( S H) ( Z H) Z - kontradikce Zápisky se skutečně nenašly. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. (FIT ČVUT) Logika III. BI-MLO, ZS 2011/12 16 / 15