GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU

Transkript

1 Integální počet funkcí jedné eálné poměnné GEOMETRICKÉ APLIKACE INTEGRÁLNÍHO POČTU PŘÍKLAD Učete plochu pod gfem funkce f ( x) = sinx n intevlu,. Ploch pod gfem nezáponé funkce f(x) se n intevlu, počítá podle vzoce S( f;, ) = f( x)dx. Funkce sinus n zdném intevlu nezáponá je, tkže můžeme psát [ ] S(sin x;, ) = sin x dx= cos x = cos ( cos ) = ( ) ( ) =. Ploch pod gfem funkce sinus n intevlu, činí tedy měné jednotky. PŘÍKLAD Učete plochu mezi gfem funkce f ( x) = cos x osou x n intevlu,. Funkce kosinus není n zdném intevlu nezáponá, nelze tedy ezpostředně použít vzoec z příkldu. Z náčtku le sndno zjistíme, že plochu mezi gfem funkce, kteá n zdném intevlu mění znménko, osou x můžeme učit pomocí míně modifikovného vzoce S( f;, ) = f( x) dx. Pltnost vzoce sndno nhlédneme, uvědomíme-li si, že solutní hodnot překlápí gf záponé funkce kolem osy x gf funkce nezáponé ponechává eze změny. Po nše konkétní zdání můžeme tedy psát / / S(cos x;, ) = cos x dx= cos x dx+ cos x dx= cos xd x+ ( cos x) dx = / / / [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = sin x sin x = sin sin sin sin = =. / Po nezáponou funkci tedy uvedený vzoec přechází n vzoec z příkldu. Využijeme větu o ditivitě po učité integály (viz Beviář st. 5) integční oo ozdělíme tk, y n jeho částech už integovná funkce znménko neměnil.

2 Geometické plikce integálního počtu PŘÍKLAD Učete plochu vymezenou gfy funkcí f ( x) = cosx gx ( ) = sinx n intevlu /4,5 /4. Plochu vymezenou n zdném intevlu, gfy funkcí g f počítáme podle vzoce 4 Sgf (, ;, ) = gx ( ) f( x) dx. Po nše konkétní zdání můžeme poto psát 5 5 /4 5 /4 S (sin x,cos x ; / 4,5 / 4) sin x cos x d x ( sin x cos x ) d x [ cos x sin x ] /4 /4 5 /4 /4 = = = = ( ) 5 5 = cos 4 sin 4 cos 4 sin 4 = ( ) ( ) + + = 4 =. PŘÍKLAD 4 Pomocí integálního počtu učete plošný osh olsti ohničené elipsou o poloosách. Elips o poloosách, v hlvním postvení se středem v počátku souřdnic (poloos ve směu souřdnicové osy x ve směu y) je zdán ovnicí neoli ( ) ( ) x/ + y/ =, ( ) y = x/. Plošný osh olsti vymezené tkovou elipsou je poto oven dvojnásoku plochy pod gfem funkce ( ) = ( / ) f x x n intevlu, : Smosttně nčtněte o gfy i jimi vymezenou plochu. 4 Sndno se dá pomocí náčtku ukázt pltnost uvedeného vzoce po nezáponé funkce gx ( ) f( x ), kdy přechází n Sg (, f ;, ) = gx ( ) f( x) dx, [ ] jkož i ozšířit jeho pltnost n oecné funkce splňující g( x) f( x ). Tehdy stčí k oěm funkcím přičíst dosttečně velkou kldnou konstntu, y se stly nezáponými, uvědomit si, že ( ) ( ) g( x) + C f( x) + C = g( x) f( x ) že se posunutím ve směu osy y velikost plochy mezi dvěm gfy nemění. Je-li g( x) f( x ), tj. leží-li gf funkce g pod gfem funkce f, stčí jistě pohodit oě funkce psát [ ] S( f, g;, ) = S( g, f;, ) = f( x) g( x) dx. Spojením oou vzthů pk získáme vzoec uvedený v příkldu. 5 N uvedeném intevlu pltí sin x cos x.

3 Integální počet funkcí jedné eálné poměnné ( ) S = S( f;, ) = x/ dx. Integál, n kteý zdání příkldu vede, počítáme pomocí sustituce: x= cost ( x/ ) dx= ( x/ ) dx= = cos sin d = d = sin d t t t x t t nkonec píšeme ( ) = sin t d t = sin t d t = t cos t sin t = ( ) S = x/ dx=. CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 4. Učete plošný osh olsti ) mezi gfem funkce f( x)= x + x osou x n intevlu,, ) mezi gfem funkce f( x) = sinx osou x n intevlu, /, c) mezi gfem funkce f( x) = x + x osou x n intevlu,, d) ohničené gfy funkcí f( x) = x n g( x)= n x, kde n je zdné přiozené číslo. Intevl volte podle půsečíků oou gfů.. Pomocí integálního počtu učete plošný osh ) kuhu o poloměu, ) odélník o stnách, 6 c) pvoúhlého tojúhelník o odvěsnách přeponě c, 7 d) tojúhelník s vcholy o souřdnicích A = [;], B = [ ;] C = [c ; c ], kde, c < c jsou zdné kldné konstnty (poovnejte se vzocem známým z elementání geometie). 8 PŘÍKLAD 5 Pomocí integálního počtu učete ovod kužnice o poloměu. Kužnici o poloměu se středem v počátku souřdnic popisujeme v nlytické geometii ovnicí 6 Využijte fktu, že Odélník o stnách je totožný s olstí pod gfem konstntní funkce f( x)= n intevlu,. 7 Pvoúhlý tojúhelník umístěte v ovině tk, y jeho odvěsny ležely n souřdnicových osách x y. 8 Tojúhelník z cvičení d má jednu stnu délky výšk n ni spuštěná má délku c. Podle vzoce z elementání geometie y tedy jeho plošný osh měl ýt c /.

4 Geometické plikce integálního počtu x + y =, její ovod O() je tedy dán jko dvojnásoek délky gfu funkce n intevlu,. Můžeme poto psát f ( x)= x definovné x () = ( ;,) = + d = + d = x O L x x x x + dx= x x = / = d = d = = d = [ csin ] = y x x x ( / ) d = d y y x x x y y [ ] [ ] = csin csin( ) = / ( /) =. Jiný způso výpočtu ovodu kužnice vychází z jejího pmetického zdání 9 x = cos ϕ, y = sin ϕ, ϕ,. Podle oecného vzoce po pmeticky zdnou křivku (viz Beviář) můžeme tedy v tomto přípdě psát dx dy ( dϕ) ( dϕ) ( ) ( ) ( ) O () = + dϕ= sinϕ + cosϕ dϕ= sinϕ+ cosϕ dϕ= d [ ]. = ϕ= ϕ = CVIČENÍ K PŘÍKLADU 5. Učete délky následujících křivek ) Neilovy poly y x = ( je zdná kldná konstnt, y > ) n intevlu, x, x x ) řetězovky = ( + ) y e e, je zdná kldná konstnt, n intevlu, x, c) evolventy kužnice o poloměu, jejíž pmetické ovnice jsou x = (cost+ tsin t), y = (sin t tcos t), n intevlu,, d) úsečky spojující dv zdné ody v ovině (postou). 9 Opět předpokládáme, že střed kužnice je totožný s počátkem souřdnicové soustvy. Návod: užijte sustituce u x / = e.

5 Integální počet funkcí jedné eálné poměnné PŘÍKLAD 6 Pomocí integálního počtu učete ojem koule o poloměu. Koule o poloměu se středem v počátku souřdnic vznikne otcí půlkuhu ohničeného n intevlu, gfem funkce vzoce můžeme tedy po její ojem psát f ( x)= x osu x kolem této osy. Podle oecného ( ) ( ) V() = x dx= x dx= x x = ( ) ( ( )) 4 =. CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6. Učete ojemy následujících otčních těles ) válce o poloměu podstvy výšce h, ) kužele o poloměu podstvy výšce h, c) komolého kužele o poloměech podstv ( > ) výšce h, d) otčního elipsoidu o poloosách, e) kulové úseče o výšce h odříznutého ovinou z koule o poloměu, f) otčního poloidu vzniklého otáčením poly y = px (p je zdná kldná konstnt) n intevlu, kolem osy x. PŘÍKLAD 7 Pomocí integálního počtu učete plošný osh kulové plochy o poloměu. Jk již víme z příkldu 6, kulová ploch o poloměu se středem v počátku souřdnic vznikne otcí půlkužnice zdné n intevlu, gfem funkce osy x. Podle oecného vzoce můžeme tedy po její plošný osh psát f ( x)= x kolem x () d d x S = x + x x= x + x= = d = d = = 4 x x x x [ x]. Nejdříve vždy učete, otcí jké plochy kolem osy x zdné těleso vznikne gfem kteé funkce je tto ploch vymezen.

6 Geometické plikce integálního počtu CVIČENÍ K PŘÍKLADU 7. Učete povchy následujících otčních těles ) válce o poloměu podstvy výšce h, ) kužele o poloměu podstvy výšce h, c) komolého kužele o poloměech podstv ( > ) výšce h, d) kulové úseče o výšce h odříznutého ovinou z koule o poloměu. Výsledky: Cvičení k příkldům 4 ) 6, ), c), d) n n +. ), ), c), d) c. Cvičení k příkldu x ) + 7 4, ) x x e + e, c), d) ( ) ( ) +. Cvičení k příkldu 6 ) d) h, ) 4, c) ( ) h, e) h h, f) h + +, p. Cvičení k příkldu 7 ) + h, ) + + h, , d) ( ) c) ( ) ( ) h h h + h. Ve výsledcích jsou komě povchu pláště otčního těles zpočteny i povchy podstv těchto otčních těles.