PRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Název: Volný pád koule ve viskózní kapalině. stud. skup.

Transkript

1 Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. XIX Název: Volný pád koule ve viskózní kapalině Pracoval: Lukáš Vejmelka stud. skup. FMUZV (73) dne Odevzdal dne: Možný počet bodů Udělený počet bodů Práce při měření 0 5 Teoretická část 0 1 Výsledky měření 0 8 Diskuse výsledků 0 4 Závěr 0 1 Seznam použité literatury 0 1 Celkem max. 20 Posuzoval: dne

2 1 Zadání úlohy 1. Ověřte, zda jsou pro dané experimentální uspořádání splněny podmínky platnosti Stokesova vzorce pro odpor prostředí při pohybu koule. 2. Změřte dynamickou viskozitu olivového oleje Stokesovou metodou. 3. Změřte dynamickou viskozitu ricinového oleje Stokesovou metodou. 4. Hustotu skleněných kuliček určete pyknometrickou metodou. 2 Teoretický úvod měření Viskozitu vazkost tekutiny si intuitivně představujeme jako míru vnitřního tření jejích jednotlivých vrstev o sebe při proudění. V této úloze půjde o určení dynamické viskozity olivového a ricinového oleje. Zavedení potřebných veličin a vztahů Formálně je dynamická viskozita η konstantou úměrnosti závislosti tečného napětí τ v daném místě tekutiny na časové změně velikosti rychlosti u ve směru kolmém k proudu, tj. τ = η du dy. Jednotka dynamické viskozity [η] = N s m 2 = Pa s. Měření viskozity Stokesovou metodou Viskozitu kapalin lze mimo užití kapilárních viskozimetrů určit i jinak zkoumáním volného pádu kuličky vhodných vlastností ve zkoumané kapalině. Podstatou této metody je sledování rovnoměrného, takřka přímočarého, pohybu kuličky mezní rychlostí od okamžiku nastolení rovnováhy působících sil. Na kuličku v kapalině působí tíhová, hydrostatická vztlaková a právě odporová síla. Ta je pro malé rychlosti (při laminárním obtékání) s dostatečnou přesností úměrná první mocnině rychlosti a její velikost při pohybu v neohraničeném prostředí vyjadřuje Stokesův vztah [1] F o odporová síla [N], η dynamická viskozita kapaliny [Pa s], r poloměr koule [m], v vzájemná rychlost koule a kapaliny [m s 1 ]. F o = 6πηrv, (1) Řešením pohybové rovnice zmíněných sil a po korekcích na konečné rozměry nádoby [3] lze dynamickou viskozitu vyjádřit jako η = 2r2 (ρ T ρ) g ( 9v 1 2,4 r ), (2) R 2

3 ρ T hustota materiálu kuličky [kg m 3 ], ρ hustota kapaliny [kg m 3 ], g místní tíhové zrychlení [m s 2 ], r poloměr kuličky [m], R poloměr válcové nádoby s kapalinou [m], v vzájemná rychlost kuličky a kapaliny [m s 1 ]. Aby bylo možné vztah (2) k výpočtu používat, musí být dodržen požadavek na laminární obtékání. Ten ověřuje Reynoldsovo číslo Re, pro které musí platit [3] Re = 2rρv η 1, (3) a po dosazení za rychlost v z rovnice (2) a zavedením příslušných průměrů d = 2r a D = 2R získáme vyjádření Reynoldsova čísla Re = 4r3 ρ(ρ T ρ)g ( ) = d3 ρ(ρ T ρ)g ( ) 1, (4) 9η 2 1 2,4 r 18η 2 1 2,4 d R které nám umožní ověřit vhodnost volby parametrů kuličky pro měření viskozity dané kapaliny, pokud už její hodnotu přibližně známe. Určení hustoty pevné látky pyknometrickou metodou Střední hustotu ρ T tělesa lze určit s pomocí pyknometru. Nejprve je třeba zvážit samotné zkoumané těleso hmotnost m 1, následně pyknometr zcela naplněný kapalinou, jejíž hustotu ρ k známe, hmotnost m 2. Nakonec se do pyknometru s touto kapalinou přidá těleso (přebytečné médium vyteče kapilárkou v zábrusovém uzávěru), jehož hustotu ρ T chceme určit hmotnost m 3. Se zanedbáním vztlaku lze pro hustotu ρ tělesa psát [1] ρ T = D m 1 ρ k m 1 + m 2 m 3. (5) Uvážíme-li i aerostatickou vztlakovou sílu na vzduchu o hustotě ρ v, pak lze hustotu tělesa přesněji vypočítat jako [1] ρ T = 2.1 Použité přístroje, měřidla, pomůcky m 1 m 1 + m 2 m 3 (ρ k ρ v ) + ρ v. (6) Odměrný válec s olivovým (resp. ricinovým) olejem, kuličky (průměr 1 až 4 mm), pinzeta, pyknometry, misky, sítko, papírové ubrousky, nálevka, dílenský mikroskop + aretační podložka kuliček, analytické váhy, měřidlo délky, destilovaná voda a organizátor kuliček. Použité přístroje ˆ Digitální stopky DS 35, PRAGOTRON 3

4 Tabulka 1: Použité měřící přístroje a jejich mezní chyby měření. Měřidlo Veličina[jednotka] Mezní chyba Pozn. Dílenský mikroskop d[m] 10 5 dílek stupnice Měřidlo délky h, l[m] 10 3 dílek stupnice Analytické váhy m[kg] 10 7 udáno výrobcem Stopky t[s] 0,3 odhad omezení smysly Teploměr t[ C] 0,1 dílek stupnice Tabulka 2: Odhady veličin pro určení průměru užitých kuliček na základě Reynoldsova čísla. Měřená Kulička Kapalina Kulička Dyn. viskozita Nádoba Reynold. číslo kapalina d[m] ρ[kg m 3 ] ρ T [kg m 3 ] η[pa s] D[m] Re 0, ,084 0,05 0,124 olivový 0, ,084 0,05 1,051 olej 0, ,084 0,05 3,746 0, ,084 0,05 9,409 0, ,987 0,05 0,0009 ricinový 0, ,987 0,05 0,0078 olej 0, ,987 0,05 0,0278 0, ,987 0,05 0, Důležité hodnoty, konstanty, vlastnosti Důležité hodnoty pro výpočet nebo látkové konstanty pro porovnání výsledků. ˆ Normální tíhové zrychlení: g = 9, m s 2 [4] ˆ Teplota destilované vody v pyknometru: t pyk = 22, 3 C ˆ Hustota destilované vody při teplotě t pyk : ρ k = 997, 7 kg m 3 [5] ˆ Dynamická viskozita olivového oleje při teplotě 20 C: η o = 0,084 Pa s [2] ˆ Dynamická viskozita ricinového oleje při teplotě 20 C: η r = 0,987 Pa s [2] 2.3 Popis postupu vlastního měření Nejprve je nutné odhadnout měřené veličiny a na základě vyhledaných viskozit v tabulkách [2] určit vhodný poloměr kuliček, tak aby bylo Reynoldsovo číslo ze vztahu (4) dostatečně malé, tedy aby platil Stokesův vztah a výsledky měření byly relevantní. Teoretický odhad je třeba ověřit pádem vzorových kuliček v měřených kapalinách a zhodnocením vypočteného Re čísla. Teoretický odhad průměrů kuliček Dle hodnot Re v tabulce 2 bude zřejmě nutné pro olivový olej používat kuličky nejmenší, naopak pro ricinový olej budeme volit kuličky větší, nebot pro všechny průměry je Re 1 a je lépe volit kuličky s větším průměrem, neboť jeho velikost je pak určena s menší nepřesností. 4

5 Zkoumání pádu koule v měřené kapalině Připravíme 10 reprezentativních kuliček daných průměrů dle prakticky ověřených teoretických předpokladů pro danou kapalinu. Naměříme jejich přesné průměry d pomocí dílenského mikroskopu. Měřenou kuličku s pomocí pinzety upustíme těsně nad hladinou, tak aby počáteční rychlost vniku do tekutiny byla minimální. Snažíme se, aby na kuličce nevznikla vzduchová bublina. Měříme čas t, za který kulička urazí dráhu l vymezenou gumičkami. Je třeba, aby vymezení gumičkami bylo v oblasti, kde je již rychlost pohybu stálá pohyb je přibližně rovnoměrně přímočarý. Vzhledem k možným ovlivněním hraničním prostředí kuličky vpouštíme v ose válce, nikoliv při kraji. Měření hustoty skleněných kuliček Nejprve změříme hmotnost m 1 souboru kuliček, např. na misce. Dále pyknometr naplníme destilovanou vodou, uzavřeme, necháme vytéct přebytečnou kapalinu a zvážíme hmotnost m 2 takto naplněného zvenku osušeného pyknometru. Nakonec přidáme zkoumaný soubor kuliček, necháme přebytečnou vodu vytéct a zvážíme hmotnost m 3. Změříme teplotu destilované vody, nalezneme její hustotu při této teplotě a na základě vztahu (5) vypočítáme hustotu kuliček (neboť je ρ vzduch ρ v je možno vztlak zanedbat). Měření provádíme pro oba typy kuliček. 3 Výsledky měření 3.1 Laboratorní podmínky Teplota v laboratoři: 24,4 C Atmosférický tlak: 997,3 hpa Vlhkost vzduchu: 28,5 % 3.2 Způsob zpracování dat Hustota skleněných kuliček Neboť budeme při dalších výpočtech hustotu ρ T potřebovat, je třeba ji přednostně určit. Z naměřených hmotností m 1, m 2 a m 3 a z tabulkové hodnoty hustoty destilované vody ρ k vypočítáme hustotu příslušných kuliček na základě vztahu (5). Vzhledem k přesnosti vážení na analytických vahách, viz tabulka 1, budeme-li uvažovat hodnotu hustoty vody ρ k při dané teplotě za přesnou, bude zřejmě vhledem k očekávaným hodnotám chyba nepřímého měření hustoty ρ T řádově velice malá, proto si ji dovolím zanedbat. Výpočet viskozity Kuličky, které v měření nahrazují ideální sféry Stokesova vzorce, nejsou zcela dokonalé. Lze ale uvažovat, že výběrový aritmetický průměr z naměřených průměrů d různých kuliček může lépe vystihovat nejpravděpodobnější průměr natočení při obtékání kapalinou. Stejným způsobem dojdeme i k nejpravděpodobnějšímu času pohybu t na určené dráze. Nejpravděpodobnější hodnotou pak získáme dosazením nejpravděpodobnějších hodnot měřených veličin do vztahu (2), který upravíme zavedením průměrů D = 2R, d = 2r a vyjádřením v = l t, tj. η = 2r2 (ρ T ρ) g ( 9v 1 2,4 r ) = R d 2 (ρ T ρ) gt ( 18 l 1 2,4 d ). (7) D 5

6 Chybu nepřímo určené veličiny určíme následovně. U hodnot l, D, které byly měřeny jednou budeme uvažovat chybu v podobě nejmenšího dílku měřící stupnice, viz tabulka 1. Dále pro získání nejpravděpodobnější nejistoty měření užijeme zákona hromadění kvadratických chyb. Některé kvadráty relativních chyb v jeho součtu je vzhledem k jejich řádu možno zanedbat, např. chyba korekčního faktoru ve jmenovateli. Chybu vypočítáme obecně podle vztahu ρ η = ( η(d, D,..., ρt ) d ) 2 ( ) η(d, D,..., ρt ) 2 ( ) η(d, D,..., ρt ) 2 s d + s D s ρt. (8) D ρ T kde se v součtu pod odmocninou objevují součiny druhých mocniny paricálních derivací funkční závislosti viskozity podle jednotlivých měřených proměnných s jejich směrodatnými odchylkami. 3.3 Naměřené hodnoty Naměřená data průměrů d o (resp. d r ) a odpovídajících časů pádu t o (resp. t r ) pro olivový (resp. ricinový) olej pro výpočet dynamické viskozity kapaliny při teplotě v laboratoři jsou v tabulce 3 (resp. 4). Naměřené hmotnosti pro určení hustoty kuliček pyknometrickou metodou zachycuje tabulka 5 Tabulka 3: Data pro olivový olej Kulička Průměr Čas pádu číslo d oi [mm] t oi [s] 1. 1,64 6,4 2. 1,60 6,5 3. 1,56 6,5 4. 1,62 6,4 5. 1,64 6,3 6. 1,61 6,5 7. 1,61 6,3 8. 1,61 6,5 9. 1,57 6, ,58 6,4 Tabulka 4: Data pro ricinový olej Kulička Průměr Čas pádu číslo d ri [mm] t ri [s] 1. 2,60 11,9 2. 2,59 11,8 3. 2,50 12,2 4. 2,54 12,2 5. 2,60 12,1 6. 2,58 11,8 7. 2,51 12,0 8. 2,51 12,3 9. 2,56 11, ,56 12,2 6

7 Tabulka 5: Data zjištěné pyknometrickou metodou a výsledky Měřené Hmotnosti Hustota materiálu kuličky m 1 [g] m 2 [g] m 3 [g] ρ T [kg m 3 ] Nejmenší 5, , , Největší 6, , , Změřené / odečtené hodnoty Dráha rovnoměrného přímočarého pohybu ve válci s olilovým olejem: l o = (182 ± 1) mm, P 1. Dráha rovnoměrného přímočarého pohybu ve válci s ricinovým olejem: l r = (69 ± 1) mm, P 1. Teplota destilované vody při pyknometrické metodě: t pyk = (22, 3 ± 0, 1) C, P 1. Průměr odměrného válce s olivovým olejem: D o = (58 ± 1) mm, P 1. Průměr odměrného válce s ricinovým olejem: D r = (59 ± 1) mm, P 1. Neměřené přejaté hodnoty (zadání úlohy) Hustota olivého oleje (při 20 C): ρ o = (910 ± 2) kg m 3, P 1. Hustota ricinového oleje (při 20 C): ρ r = (960 ± 2) kg m 3, P Zpracování dat Výpočet hustoty kuliček Na základě naměřených hmotností m 1, m 2, m 3 z tabulky 5 a znalosti hustoty ρ k destilované vody při teplotě t pyk vypočítáme odpovídající hustoty ρ T kuliček podle vztahu (5). Vypočítané hodnoty jsou uvedeny v tabulce 5. Z důvodů, které podrobněji přiblížím v diskuzi, předpokládám, že dosáhnu lepších výsledků, budu-li uvažovat, že hustota obou kuliček je břibližně stejná a dále budu počítat s nejpravděpodobnější hodnotou ρ T pro obě kuličky, která bude rovna aritmetickému průměru z obou hustot. Dále tedy bude ρ T představovat hodnota ρ T = ρ Ti = (2449 ± 57) kg m 3, P 0,68. i=1 Chyba nepřímo určené hustoty ρ T jako veličiny je díky vysoké přesnosti analytických vah vůči statistické chybě dvou měření zanedbatelná. Nejpravděpodobnější čas pohybu a průměr kuliček Nalezneme výběrový aritmetický průměr průměrů d a časů pohybu t z tabulek 3, 4 a jejich výběrové směrodatné odchylky. Zpracování dat ukazují tabulky 6 a 7. 7

8 Tabulka 6: Hledání hodnoty průměru, času pádu a jejich pravděpodobných chyb pro olivový olej. Číslo Průměr Odchylky Kvadráty odch. Čas Odchylky Kvadráty odch. měření d i [mm] ε d = ( d d i )[mm] ε 2 d [mm2 ] t[s] ε t = ( t t i )[s] ε 2 t [s 2 ] 1. 1,64-0,04 0, ,4 0,05 0, ,6 0,00 0, ,5-0,05 0, ,56 0,04 0, ,5-0,05 0, ,62-0,02 0, ,4 0,05 0, ,64-0,04 0, ,3 0,15 0, ,61-0,01 0, ,5-0,05 0, ,61-0,01 0, ,3 0,15 0, ,61-0,01 0, ,5-0,05 0, ,57 0,03 0, ,7-0,25 0, ,58 0,02 0, ,4 0,05 0,0025 n = 10 d = 1,60 i=1 ε d i = 0 i=1 ε2 d i = 0,00066 t = 6,45 i=1 ε t i = 0 i=1 ε2 t i = 0,0125 Tabulka 7: Hledání hodnoty průměru, času pádu a jejich pravděpodobných chyb pro ricinový olej. Číslo Průměr Odchylky Kvadráty odch. Čas Odchylky Kvadráty odch. měření d i [mm] ε d = ( d d i )[mm] ε 2 d [mm2 ] t[s] ε t = ( t t i )[s] ε 2 t [s 2 ] 1. 2,6-0,04 0, ,9 0,14 0, ,59-0,04 0, ,8 0,24 0, ,5 0,05 0, ,2-0,16 0, ,54 0,01 0, ,2-0,16 0, ,6-0,04 0, ,1-0,06 0, ,58-0,03 0, ,8 0,24 0, ,51 0,04 0, ,0 0,04 0, ,51 0,04 0, ,3-0,26 0, ,56 0,00 0, ,9 0,14 0, ,56-0,01 0, ,2-0,16 0,0256 n = 10 d = 2,56 i=1 ε d i = 0 i=1 ε2 d i = 0,0013 t = 12,04 i=1 ε t i = 0 i=1 ε2 t i = 0,0304 Výběrové aritmetické průměry průměrů d o/r a časů t o/r d o = 1 n d r = 1 n t o = 1 n t r = 1 n n d oi = 1,60 mm, i=1 n d ri = 2,56 mm, i=1 n t oi = 6,45 s, i=1 n t ri = 12,04 s. i=1 8

9 A odpovídající směrodatné odchylky s do = n i=1 ε2 d oi n(n 1) s dr = n i=1 ε2 d ri n(n 1) = 2,7 µm, P 0,68, = 3,8 µm, P 0,68, s t o = n i=1 ε2 t oi n(n 1) s t r = n i=1 ε2 t ri n(n 1) = 0,012 s, P 0,68, = 0,018 s, P 0,68. Poznámka: Ve výpočtech v indexech veličin příslušící dané kapalině užívám písmene o pro olivový olej, a r pro olej ricinový. Data pro jednotlivé kapaliny jsou v oddělených tabulkách, proto v nich pro přehlednost veličiny takto dvojitě neindexuji. Na základě 3s kritéria by bylo třeba provést korekci a některá data ze zpracování vyloučit. Vzhledem k četnosti výskytu těchto dat je jako hrubou chybu nepovažuji, neboť jednotlivá data nepřísluší jedné kuličce, ale kuličkám navzájem různým a předpokládám, že náhodný výběr deseti kuliček je dostatečným reprezentativním vzorkem. Výpočet viskozit η o/r a jejich chyb Viskozitu vypočítáme na základě vztahu (7), kam budeme jako nejpravděpodobnější hodnoty dosazovat výběrové aritmetické průměry veličin, tj. η o = η r = g (ρ T ρ o ) d 2 o t o ( 18l o 1 2,4 d ) = 0,082 Pa s, o D o g (ρ T ρ r ) d 2 r t r ( 18l r 1 2,4 d ) = 1,032 Pa s. r D r Dosazované konstanty jsou uvedeny v části 2.2, ostatní hodnoty jsou v části naměřené hodnoty a zpracování dat. Nejistotu měření viskozit určíme podle vztahu (8). Vypočítáme relativní chyby veličin, směrodatné odchylky (veličin t, d a ρ o/r ) převedeme na chyby mezní. Vzhledem k velké přesnosti přístrojů chybu dílenského mikroskopu a analytických vah ke statistickým chybám nebudu připočítávat, neboť výslednou chybu ovlivní pouze zanedbatelně. Ke statistické nejistotě měření času však připočítávám chybu omezení smysly, která je odhadnuta společně s ostatními chybami v tabulce 1. Absolutní nejistota viskozit (výstup z LibreOffice Calc) ε ηo = 0,010 Pa s, P 1. ε ηr = 0,13 Pa s, P 1. 9

10 3.5 Číselné výsledky měření Střední výběrová hustota skleněných kuliček používaných pro měření viskozity olivového a ricinového oleje byla změřena s následujícím výsledkem ρ T = (2449 ± 57) kg m 3, P 0,68. Naměřené hodnoty dynamické viskozity olivového a ricinového oleje při teplotě v laboratoři (24,4 C) Stokesovou metodou jsou η o = (0,082 ± 0,004) Pa s, P 0,68, η r = (1,03 ± 0,05) Pa s, P 0,68. 4 Diskuze výsledků Udává se, že hustota skla leží v oblasti hodnot ( ) kg m 3. Hustota skleněných kuliček ρ T naměřená pyknometrickou metodou v tomto intervalu leží. Dále tabulky [2] uvádějí hodnoty dynamických viskozit η o = 0, 084 Pa s pro olivový olej a η r = 0, 987 Pa s pro olej ricinový (při teplotě 20 C). Teplota v laboratoři, předpokládejme i vzorků kapalin, přibližně odpovídá teplotě, při které jsou hodnoty tabelovány. Tabelované hodnoty leží v intervalech nejistoty (P 0,68), měření tedy bylo úspěšné. Přesto je nejistota měření poměrně velká. Největší chybu do měření vnáší nejistota měřené hustoty materiálu kuliček, dále pak jejich nepřesně sférický tvar a s tím spojený rozptyl hodnot průměrů (navíc η d 2 ) a nakonec i soubor chyb spojených s měřením velikosti rychlosti v. Chyba dráhy a času pohybu mezi gumičkami je způsobena nepřesným určením okamžiku míjení gumičky, tj. reakční dobou a omezenými smysly laboranta. Jak již bylo zmíněno při výpočtu hustoty ρ k kuliček, způsob užití pyknometrické metody vnesl velkou nepřesnost. K měření hustoty malých kuliček byla totiž z důvodu nedostatku suchých použita i jistá část ne zcela uschlých kuliček. Tím mohlo dojít k nadhodnocení hodnoty m 1 a zkreslení hodnot. Ve výpočtu uvažuji, že kuličky jsou stejného typu a s určitou opatrností lze jejich hustoty nahradit střední hustotou obou z nich. Pyknometrická metoda díky konstrukci pyknometru a analytickým vahám je ale velice přesná metoda a nebyl by problém provedením většího počtu měření hustoty stejného souboru kuliček dojít k mnohem menším nejistotám. Jistou systematickou chybu do výsledků měření vnáší užívané hodnoty hustoty kapalin, které jsou tabelované pro nížší než v době měření laboratorní teplotu. Zajímavým druhotným zjištěním je skutečnost, že teplota destilované vody používaná v pyknometru byla o necelé dva stupně nižší, než teplota v laboratoři. To lze vysvětlit tím, že voda je uložena ve větším objemu v kanystru v laboratoři, jejíž teplota může být přes noc nižší a vzhledem k vysoké měrné tepelné kapacitě ještě zřejmě nenastala tepelná rovnováha. Stokesova metoda se ukazuje býti vhodnou pro měření viskozity kapalin, pro které jsme schopni nastavit takové experimentální uspořádání (průměr kuliček, velikost nádoby, rychlost pádu), aby byla splněna podmínka laminárního obtékání (tj. Re 1). Při výpočtu jsem nejprve nalezl nejpravděpodobnější hodnoty průměrů kuliček a časů a až z těchto hodnot jsem počítal nejpravděpodobnější hodnotu viskozity. To se zdá býti nesprávné, neboť jednotlivé průměry představují vlastnost nestejných kuliček, obdobně s časy. Výpočtem však lze ověřit, že viskozita určená jako aritmetický průměr dílčích viskozit jednotlivých kuliček se od takto vypočítané 10

11 viskozity liší zanedbatelně. Zvolený způsob statistického zpracování více zahlazuje skutečnost nedokonalé sféričnosti použitých koulí, a dále pak nemožnost popsání vlivu způsobu natočení kuličky při obtékání, či její rotaci. 5 Závěr Hustota skleněných kuliček byla změřena pyknometrickou metodou. Její hodnota je ρ T = (2449 ± 57) kg m 3, P 0,68. Dynamická viskozita olivového oleje při teplotě v laboratoři (24,4 C) byla naměřena Stokesovou metodou s následujícím výsledkem η o = (0,082 ± 0,004) Pa s, P 0,68. Stejnou metodou a při stejné teplotě byla naměřená dynamická viskozita oleje ricinového η r = (1,03 ± 0,05) Pa s, P 0,68. Výsledné hodnoty korespondují s tabelovanými hodnotami. Seznam použité literatury [1] Brož J. a kol: Základy fysikálních měření. SPN, Praha 1967, str. 88, str [2] ONLINE: Online fyzikální tabulky. ( ) [3] H. Valentová: Fyzikální praktikum, studijní text, MFF UK. ( ). [4] Mikulčák, J a kol: Matematické fyzikální a chemické tabulky. Prometheus, Praha 1988, str. 149., str [5] ONLINE: Density of water vs. Temperature. ( ). 11