II. Kinematika hmotného bodu

Transkript

1 II Kinematika hmotného bodu Všechny vyřešené úlohy jou vyřešeny nejprve obecně, to znamená bez číel Číelné hodnoty jou doazeny až tehdy, dopějeme-li k vyjádření neznámé pomocí vztahu obahujícího pouze zadané veličiny Pokud vám tento způob výpočtu /ve fyzice obvyklý a repektovaný/ dělá potíže, klidně používejte mezivýpočty Způoby řešení jou mnohdy více než jeden Máte-li vlatní, nebojte e jej polat, vyvěíme jej pro rovnání Příklad 1 Míta A, B jou vzdálena 135 km Součaně vyjede z míta A měrem k B automobil tálou rychlotí 50 km h 1 a z míta B proti němu motocykl tálou rychlotí 40 km h 1 Vypočtěte, kdy a kde e etkají [1,5 h, 75 km od míta A] Řešení: Označme rychlot auta v 1 50 km h 1, rychlot motocyklu v 2 40 km h 1 Auto i motocykl e pohybují po tejný ča t, auto urazí dráhu 1, motocykl dráhu 2 Součet drah dá v okamžiku etkání vzdálenot mít A, B, označme ji 135 km Platí tedy v 1 t + v 2 t t(v 1 + v 2 ) t 135 km 135 v 1 + v 2 40 km h km h 90 h 1,5 h Vzdálenot míta etkání od míta A je rovna dráze, kterou za ča t urazil automobil, tedy 1 v 1 t v 1 50 km h km v 1 + v 2 40 km h km + 50 km h Příklad 2 Letadlo e vzdaluje od letiště rovnoměrným přímočarým pohybem rychlotí 500 km h 1 Za 2,5 h za ním vyletí druhé letadlo tálou rychlotí 700 km h 1 Kdy a kde ho dohoní? [8h 45min od tartu prvního, 4375 km] Návod: V okamžiku, kdy e letadla dohoní, obě urazila tejnou dráhu Dráhu prvního letadla počítáme jako 1 v 1 t 1, dráhu druhého letadla jako 2 v 2 t 2 v 2 (t 1 2,5 h) Z rovnoti 1 2 počteme ča Vzdálenot od vzletu je rovna dráze kteréhokoliv z letadel Příklad 3 Řidič automobilu plánuje jízdu do vzdálenoti 30 km na dobu půl hodiny Nejprve je však nucen jet 20 minut za kolonou pomalých vozidel rychlotí 30 km h 1 Jakou rychlotí by muel jet zbývajících 10 minut, aby dorazil do cíle za plánovanou dobu? [120 km h 1 ] 1

2 Řešení: Označme 30 km vzdálenot, kterou má řidič ujet, a t 0,5 h ča, na který plánoval jízdu Při pomalé jízdě jede automobil rychlotí v 1 30 km h 1 po dobu t 1 20 min 1 3 h Urazí tedy vzdálenot 1 v 1 t 1 Zbývající vzdálenot 2 1, muí urazit za ča t 2 t t 1 Muí tedy jet rychlotí v 2 2 t 2 1 t t 1 v 1t 1 t t 1 30 km - 30 km h h 20 km 1 2 h h 1 6 h 120 km h 1 Příklad 4 Automobil jel z Hradce Králové do Jaroměře průměrnou rychlotí 80 km h 1, zpět jel průměrnou rychlotí 40 km h 1 Podruhé jel tam i zpět průměrnou rychlotí 60 km h 1 Ve kterém případě e vrátil dříve? V Jaroměři zůtal v obou případech tejnou dobu [{t 1 } {}, {t 2} {}, podruhé] (ložené závorky značí číelnou hodnotu) Návod: Označme vzdálenot HK-Jaroměř V prvním případě jel řidič po dobu t t 1 + t 2 v 1 + v 2 (v 1 + v 2 ) v 1 v 2 Číelná hodnota čau {t}, doazujeme-li rychlot v m/, bude {t} {} V druhém případě jel řidič po dobu {} {} t 2 v p, {t } 2 60 {} {} Pozor: čatá chyba je, že v prvním případě e určí průměrná rychlot jako průměr rychlotí v1+v2 2 To není pravda Průměrná rychlot v prvním případě je určená podle definice jako v p1, když e má počít, vyjde v p1 2 t 1 + t 2 v 1 celková dráha celkový ča 2 + 2v 1v 2 v 2 v 1 + v 2 53,3 km h 1 Příklad 5 Člun je chopen vyvinout vzhledem ke klidné vodě rychlot 36 km h 1, řeka teče rychlotí 2 m 1 Pojede z míta A měrem po proudu 1200 m a zpět Jak dlouho trvá celá ceta? Ča na otáčení zanedbáme [4min 10] Řešení: Rychlot člunu vzhledem ke klidné vodě označme v 0 36 km h 1 10 m 1, rychlot řeky označme v r 2 m 1 Označme 1200 m dráhu, kterou člun jede tam a zpět 2

3 Po proudu trvá ceta ča t 1 Proti proudu trvá ceta ča t 2 Celkem tedy ceta trvá ča t t 1 + t 2 včlunu po proudu v 0 + v r včlunu proti proudu v 0 v r + (v 0 v r ) + (v 0 + v r ) 2v 0 v 0 + v r v 0 v r (v 0 v r )(v 0 + v r ) v0 2 v2 r m 10 m 1 (10 m 1 ) 2 (2 m 1 ) m m Příklad 6 Dešt ové kapky padají tálou rychlotí vile dolů a dopadají na okno vagónu pohybujícího e ve vodorovném měru Kapky zanechávají na okně vagónu topu, která vírá e vilicí úhel 60 Velikot rychloti vagónu je 54 km h 1 Určete rychlot dopadajících kapek [8,7 m 1 ] Návod: Vektor rychloti kapek míří vile dolů, vektor rychloti vagónu vodorovně Jejich výlednice určuje měr topy kapek po kle a je tedy přeponou v pravoúhlém trojúhelníku z vektorů, jehož vodorovná odvěna má velikot 54 km/h a úhel přepony od vilice je 60 Úloha počít rychlot kapek znamená počít druhou odvěnu v tomto trojúhelníku Příklad 7 Při objíždění překážky nížil automobil rovnoměrně rychlot z hodnoty 72 km h 1 na hodnotu 36 km h 1 za dobu 5 a pak po dobu 10 zrychloval na původní rychlot Určete, v jaké vzdálenoti před překážkou začal brzdit a v jaké vzdálenoti za překážkou doáhl původní rychloti Spočítejte průměrnou rychlot automobilu za dobu uvedených 15 [ 1 75 m, m, v p 15 m 1 ] Řešení: Označme rychloti automobilu v 1 72 km h 1 20 m 1 a v 2 36 km h 1 10 m 1 Ča na zpomalování označme t 1 5, ča na zrychlování označme t 2 10 Automobil e při brždění pohyboval e zrychlením (vyjde záporně, což značí, že zpomaluje) a 1 rychlot koncová rychlot počáteční ča na brždění v 2 v 1 t 1 Přitom urazil dráhu, kterou počteme podle vzorce pro rovnoměrně zrychlený pohyb 1 počáteční rychlot ča + 1/2 zrychlení ča na druhou 3

4 1 v 1 t a 1t 2 1 v 1 t v 2 v 1 t 2 1 v 1 t t 1 2 (v 2 v 1 )t (v 2+v 1 )t 1 75 m Za překážkou e automobil pohybuje e zrychlením (vyjde kladně, což značí, že automobil zrychluje) a 2 v 1 v 2 t 2 Přitom urazí dráhu 2 počáteční rychlot ča + 1/2 zrychlení ča na druhou 2 v 2 t a 2t 2 2 v 2 t v 1 v 2 t t 2 2 (v 1 + v 2 )t m Průměrnou rychlot počteme jako v p celková dráha celkový ča t 1 + t m m 1 Příklad 8 Při rozjíždění e pohybuje elektrický vlak nejprve e zrychlením 0,4 m 2 po dobu 20 a potom e zrychlením 0,8 m 2 do té doby, než doáhne rychloti 72 km h 1 a) Určete dobu pohybu vlaku b) Určete dráhu potřebnou k doažení výledné rychloti c) Načrtněte graf rychloti jako funkce čau [35, 290 m] Návod: a) Určete rychlot vlaku po 20 (v at), určete dobu než z této rychloti zrychlí na 72 km/h 20 m/ (t rozdíl rychlotí : zrychlení) b) Sečtěte dráhu v prvním a druhém úeku ( 1 2 at2 ) c) Grafem budou dvě různě kloněné úečky První začíná v počátku ouřadné outavy, druhá v koncovém bodě první úečky Druhá bude trměji toupat Příklad 9 Automobil jede rychlotí 90 km h 1 Ve vzdálenoti 100 m uvidí překážku a začne ronoměrně brzdit Narazí rychlotí 20 km h 1 O kolik metrů dříve měl začít brzdit, aby nenarazil? [5,2 m] Návod: Určete ča t, za jak dlouho auto urazilo oněch 100 m (100 m 1/2 průměr rychlotí t) Určete, jakým (záporným) zrychlením auto zpomaluje Určete, jaký ča t by mu tímto zrychlením trvalo zpomalit z počáteční rychloti 20 km/h na nulu Určete dráhu podle vzorce počáteční rychlot t + 1/2 zrychlení t na druhou Příklad 10 Pro účinnot brzd oobního automobilu je předepáno, že muí při počáteční rychloti 40 km h 1 zatavit na dráze 12,5 m S jak velkým zrychlením automobil brzdí? [4,9 m 2 ] Návod: v 0 40 km/h 40 3,6 m/ Dále platí, že koncová rychlot - počáteční rychlot zrychlení ča a dráha počáteční rychlot ča + 1/2 zrychlení ča na druhou Po doazení do těchto vzorců 0 v 0 at t v 0 a, v 0t + 1 v 0 2 at2 v 0 a av2 0 a 2 1 v0 2 2 a 4

5 a odtud vyplývá, že a 1 v0 2 4, 9 m 2 2 To znamená, že automobil e pohybuje e záporným zrychlením o velikoti 4,9 m 2, tedy tímto zrychlením zpomaluje Příklad 11 Automobil jede rychlotí 72 km h 1 a během 4,0 rovnoměrně zpomalí na 54 km h 1 Jakou dráhu při tom urazí? Za jak dlouho od začátku brzdění by při tále tejném zpomalení zatavil? [70 m, 16 ] Návod: v 1 72 km/h 20 m/, v 2 54 km/h 15 m/, t 4,0 Zrychlení je a v 2 v 1 1, 25 m 2, t dráha vyjde (po doazení za a) Automobil by zatavil za dobu v 1 t at2 1 2 (v 1 + v 2 )t 70 m t v 1 a v 1 20 m 1 t v 2 v 1 20 m m Příklad 12 Autobu e pohyboval rychlotí 36 km h 1 Na dráze 69 m rovnoměrně zrychlil a zíkal tak rychlot 46,8 km h 1 Jak dlouho mu změna rychloti trvala? Za jak dlouho od začátku akcelerace by doáhl rychloti 60 km h 1? [6, 13,3] Návod: v 1 36 km/h 10 m/, v 2 46,8 km/h 13 m/, 69 m Platí v 2 v 1 at a v 2 v 1, v 1 t+ 1 t 2 at2 v 1 t+ 1 2 (v 2 v 1 )t 1 2 (v 1+v 2 )t, odkud plyne, že t 2 v 1 + v 2 6 Rychloti v 3 60 km/h 16,67 m/ by doáhl za ča t v 3 v 1 a v 3 v 1 v 2 v 1 t 13,3 Příklad 13 Dráhu tělea při volném pádu v záviloti na čae znázorníme v pravoúhlých ouřadnicích jako: a) přímku rovnoběžnou vodorovnou oou, b) přímku o měrnici g, c) parabolu, d) hyperbolu [(c)] 5

6 Příklad 14 Za jak dlouho dopadne kámen ve vakuu z výšky 60 m, je-li g 9,8 m 2? [3,50 ] Návod: Volný pád je pohyb rovnoměrně zrychlený, platí h 1 2h 2 gt2 d t d 3,5 g Příklad 15 Z jaké výšky by muelo těleo padat volným pádem, aby dopadlo na zem rychlotí 100 km h 1? Tíhové zrychlení uvažujme 9,8 m 2 [39,4 m] Návod: v d 100 km/h 27,7 m/ Volný pád je pohyb rovnoměrně zrychlený, pro rychlot dopadu platí vztah v d 2gh (např ze zákona zachování mechanické energie) Proto v 2 d 2gh h v2 d 2g 39,4 m Příklad 16 Těleo padalo z výšky 35 m volným pádem Určete rychlot jeho dopadu na zem, je-li g 9,8 m 2 [26,2 m 1 ] Návod: Platí v d 2gh 26,2 m/ Příklad 17 Za jak dlouho urazí volně padající těleo druhý metr vé dráhy? [0,19 ] Návod: Určete, za jak dlouho urazí z klidu volně padající těleo dráhu h 1 1m a dráhu h 2 2m Čay odečtěte Vyjde 2h 2 t t 2 t 1 g 2h 1 0,64 0,45 0,19 g Příklad 18 Kolotoč e otáčí 18krát za minutu Sedačka je vzdálená od oy otáčení 4,0 m Určete rychlot edačky, dotředivé zrychlení a kolik radiánů urazí za 5,0 [v 7,5 m 1, a d 14,2 m 2, ϕ 9,42 rad] Řešení: Frekvence otáčení Úhlová rychlot edačky je f ω 2πf, 6

7 rychlot edačky je Dotředivé zrychlení je Sedačka urazí radiánu za ča t 5,0 v ωr 2πfr 7,5 m 1 a d ω 2 r 4π 2 f 2 r 14,2 m 2 ϕ ωt 2πft 9,42 rad Příklad 19 Těleo koná rovnoměrný pohyb po kružnici o poloměru 40 cm, doba jedné otočky je 0,60 Určete rychlot tělea, frekvenci obíhání, úhlovou frekvenci a dotředivé zrychlení 1 [4,19 m 1, 1,67 Hz, 10,5 rad 1, 43,9 m 2 ] Návod: Perioda pohybu T 0,60 Úhlová rychlot je rychlot tělea je frekvence obíhání je dotředivé zrychlení je ω 2π T 10,5 rad 1, v ωr 2πr T f 1 T 4,19 m/, 1,67 Hz, a d ω 2 r 4π2 T 2 r 43,9 m/ Příklad 20 S jakým dotředivým zrychlením vzhledem k zemké oe e pohybuje měto Olo, které leží na 60 everní šířky? Kolik radiánů urazí za 35 min? Poloměr Země je 6378 km [a d 0,0169 m 2, ϕ 0,15 rad] Návod: Jetliže poloměr Země je R Z 6378 km, potom poloměr kružnice, po níž e pohybuje Olo, je r R Z co R Z Dotředivé zrychlení vypočteme ze vztahu (perioda pohybu T 24 h ) a d ω 2 r 4π2 T 2 r 0,0169 m 2 Úhlovou dráhu vypočteme ze vztahu (t 35 min) ϕ ωt 2π T t 0,15 rad 1 Doba jednoho oběhu perioda e značí T Frekvence f je rovna převrácené hodnotě periody f 1, měří e v jednotkách Hz (Hertz) Úhlová frekvence ω je zde totéž, co úhlová T rychlot, platí pro ni vztahy ω 2π T 2πf 7

8 Příklad 21 Kolikrát je úhlová rychlot hodinové ručičky větší než úhlová rychlot otáčení Země? [dvakrát] Návod: Perioda hodinové ručičky je T 1 12 h, perioda otáčení Země je T 2 24 h Proto 2π ω 1 T 1 ω 2π T 2 2, 2 T 2 T 1 úhlová rychlot ručičky je dvakrát větší než úhlová rychlot rotace Země Příklad 22 Vrtule letadla e otáčí úhlovou rychlotí 200 rad 1 Jakou dráhu uletí letadlo během jedné otáčky vrtule, jetliže letí rychlotí 540 km h 1? [4,7 m] Návod: ω 200 rad 1, v 540 km h m 1 Doba jedné otáčky vrtule (perioda jejího pohybu) je za tuto dobu uletí letadlo dráhu T 2π ω, v T 2πv ω 4,7 m 8