Úvod do teorie dělitelnosti

Transkript

1 Úvod do teorie dělitelnosti V předchozích hodinách matematiky jste se seznámili s desítkovou soustavou. Umíte v ní zapisovat celá i desetinná čísla a provádět zpaměti i písemně základní aritmetické operace (sčítání, odčítání, násobení a dělení). Abyste se v této činnosti zdokonalili, především při počítání se zlomky, musíte se naučit některá obecná pravidla o celých násobcích čísel. Také se seznámíte se základy matematické disciplíny zvané teorie čísel (teorie čísel spolu s planimetrií stály u zrodu samotné matematiky). Je nutné si uvědomit, že po celou dobu vyučování dělitelnosti přirozených čísel budeme pracovat, jak už název napovídá, pouze s přirozenými čísly (1, 2, 3, ). Zavedení přirozených čísel Na počátku výuky dělitelnosti, se seznámíme s okruhem čísel, se kterým budeme pracovat. V celé kapitole se budeme zabývat pouze čísly přirozenými a jejich vlastnostmi. Přirozených čísel je nekonečně mnoho a žádné největší přirozené číslo neexistuje. Nejmenší přirozené číslo označujeme symbolem 0. Jeho následovníka symbolem 1, a tak dále přesně jak jste zvyklí. Pojem následovník a také pojem předchůdce jsou dva přesně definované matematické pojmy. Jejich význam je jistě z následujícího obrázku zřejmý. Číslo 0 nemá předchůdce Každé přirozené číslo má svého následovníka Předchůdce čísla 4 je číslo 3 Nejmenší přirozené číslo je takové, že nemá svého předchůdce. Je "první". Svého následovníka má naopak každé přirozené číslo. Proto nemůže existovat největší přirozené číslo. I kdybychom nějaké označili za největší, stačí vzít jeho následovníka. Určitě existuje a určitě je větší. Mezi čísla přirozená patří: 1, 2, 3, 4,.., 99, 100, 101,, 489,..

2 Násobek a dělitel Při vytváření pojmu násobek se budeme opírat o vaše předešlé znalosti, především o dobrou znalost malé násobilky. Měli bychom vědět, že čísla 2, 4, 6, 8, 10, jsou násobky čísla 2. Pro přiblížení a popřípadě i pro kontrolu bychom mohli tuto situaci znázornit: např. 1) Pomocí číselné osy 2) Pomocí tabulky (Příklad: Jeden kopeček jahodové zmrzliny stojí 6 korun. Dva kopečky zmrzliny stojí 12 korun. Tři kopečky stojí 18 korun. Doplňte tabulku, podle počtu kopečků zmrzliny.) počet kopečků cena v Kč Pokud si na číselné ose postupně vyznačíte násobky čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, pak lze snadno přijít na to, že číslo 10 je násobkem čísel 1, 2, 5. Postupně se s tak dostáváte k pojmu dělitel. Jestliže číslo 16 je násobkem čísel 1, 2, 4, 8, pak je jistě i těmito čísly dělitelné. Chcete-li například zjistit, zda číslo 81 nebo 107 je násobkem čísla 3, musíte je tímto číslem vydělit. 81 : 3 = 27 (0) Dělení vyšlo beze zbytku, číslo 87 je násobkem čísla : 3 = 35 (2) Dělení nevyšlo beze zbytku, číslo 107 není násobkem čísla 3. Důležité je i základní značení: 12 : 4 = 3 dělenec dělitel podíl

3 Nyní budete říkat, že číslo b je dělitelem čísla a, pokud podíl a : b je celé číslo. Tak o každém z čísel 1, 2, 5 a 10 řeknete, že je dělitelem čísla 10, ale např. číslo 4 není dělitelem čísla 10. Velmi často je zapotřebí, abyste určili všechny dělitele daného čísla. U čísla 10 jsme určili, že to jsou čísla 1, 2, 5 a 10. Symbolicky to budete zapisovat D 10 = {1, 2, 5, 10}. Tento zápis obvykle čteme: Množina dělitelů čísla 10 má prvky 1, 2, 5, 10. Př. Jestliže je možné rozdělit číslo 24 beze zbytku číslem 6, říkáme že: - číslo 6 je dělitelem čísla 24 - číslo 24 je dělitelné číslem 6 24 je dělitelné je dělitelem 6

4 Čísla sudá a lichá V této kapitole se jen krátce zmíníme o číslech sudých a číslech lichých. Čísla sudá a lichá rozlišovali již naši předchůdci Pythagorejci. ( Pythagorás (asi 570 př.n.l př.n.l.) - filozof, matematik a astronom. Pythágorejci byli následovníci matematického myšlení samotného Pythagora ze Sámu. ) Čísla, která se dala uspořádat do dvou řad nazývali čísla sudá. Naopak čísla, která se do dvou řad uspořádat nedala, byly lichá. Pro sudá a lichá čísla platí určité vlastnosti: sudé číslo + sudé číslo = sudé číslo ( = 20 ) sudé číslo + liché číslo = liché číslo ( = 19 ) liché číslo + liché číslo = sudé číslo ( = 18 )

5 Znaky dělitelnosti Někdy se vyskytne situace, ve které je potřeba rychle zjistit, zda je dané číslo dělitelné jiným číslem, čili zda dělení vyjde beze zbytku. Abyste nemuseli pokaždé dělit, můžeme využít určitých znaků dělitelnosti. Těmito znaky se nyní budeme zabývat. Jestliže máte rozhodnout zda číslo a je dělitelné číslem b, není nutné vždy provádět dělení a : b a zjišťovat, zda zbytek při tomto dělení je, či není roven nule. Nejlépe zřejmě poznáme číslo, které je dělitelné číslem 10. Pokud máte rozhodnout, které ze dvou čísel 3586, 5820 je dělitelné deseti, není jistě obtížné na první pohled určit, že číslo 3586 deseti dělitelné není, zatímco číslo 5820 deseti dělitelné je = = Je vidět, že v obou rozkladech jsou první tři sčítance dělitelné deseti, a o tom, zda číslo je, či není, rozhoduje pouze poslední sčítanec. Ten je vyjádřen na místě jednotek daného čísla. Znak dělitelnosti číslem deset Jestliže má dané číslo na místě jednotek číslici 0, pak je dělitelné deseti. Jestliže nemá dané číslo na místě jednotek číslici 0, pak není dělitelné deseti. Podobným způsobem, můžete odvodit znak dělitelnosti čísla 5 a čísla 2. Pokud máte rozhodnout, které ze dvou čísel 2656, 2655 je dělitelné pěti, můžete postupovat obdobně jako v předchozím příkladě = =

6 V obou rozkladech jsou první tři sčítance dělitelné pěti (neboť čísla 1000, 100 i 10 jsou dělitelná pěti). Proto o tom, zda dané číslo je, či není dělitelné pěti, opět rozhoduje poslední sčítanec, vyjádřený poslední číslicí čísla. Znak dělitelnosti číslem pět Jestliže má dané číslo na místě jednotek číslici 0 nebo 5, pak je dělitelné pěti. Jestliže nemá dané číslo na místě jednotek ani číslici 0, ani číslici 5, pak není dělitelné pěti. U čísel 3746, 3747, 3478 a 3749 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem dvě = = = = V rozkladech čísel 3746 až 3749 jste zjistili, že dělitelné dvěma jsou ta, které končí na místě jednotky číslem 0, 2, 4, 6, 8. Znak dělitelnosti číslem dva Jestliže má dané číslo na místě jednotek některou z číslic 0, 2, 4, 6 nebo 8, pak je dělitelné dvěma. Jestliže má dané číslo na místě jednotek některou z číslic 1, 3, 5, 7 nebo 9, pak není dělitelné dvěma. U čísel 1027 a 1048 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem čtyři. Mohli byste znovu postupně rozkládat číslo 1027 a 1048 násobky čísel 4 a zjistit, které z následujících čísel vyjde beze zbytku. Toto číslo by pak bylo násobkem čísla čtyři = ? 1048 =

7 Z předcházejícího rozkladu si však můžete všimnout, že u čísel 1000 a 100 vždy existuje přirozené číslo, které vynásobíte-li číslem 4 dá znovu číslo 1000 a 100. ( čísla 250 a 25 ) Při rozhodování dělitelnosti číslem čtyři se tedy budete rozhodovat podle posledního dvojčíslí daného čísla. Pokud je tedy poslední dvojčíslí dělitelné číslem čtyři, pak jste dospěli k řešení, že celé toto číslo je dělitelné čtyřmi ~ 27 : 4 = 6,75 není dělitelné 1048 ~ 48 : 4 = 12 je dělitelné Znak dělitelnosti číslem čtyři Jestliže je poslední dvojčíslí daného čísla dělitelné čtyřmi, pak je i dané číslo dělitelné čtyřmi. Jestliže není poslední dvojčíslí daného čísla dělitelné čtyřmi, pak není ani dané číslo dělitelné čtyřmi. U čísel 1567 a 1824 budete zjišťovat, zda jsou dělitelná číslem osm. Postup bude podobný, jako v předcházejícím případě. Znovu byste mohli obě čísla rozložit na násobky čísel 8 a zjistit, které z následujících čísel vyjde beze zbytku = ? + 8? 1824 = Z rozkladu je však patrné, že u čísla 1000 vždy existuje přirozené číslo, které vynásobíte-li číslem osm dostanete znovu číslo ( číslo 125 ) U čísel 100 a 10 již takové přirozené číslo neexistuje. Při rozhodování dělitelnosti číslem osm se tedy budete rozhodovat podle posledního trojčíslí daného čísla. Je-li poslední trojčíslí daného čísla dělitelné číslem osm, pak je i celé číslo dělitelné číslem osm.

8 1567 ~ 567 : 8 = 70,87 není dělitelné 1824 ~ 824 : 8 = 103 je dělitelné Znak dělitelnosti číslem osm Jestliže je poslední trojčíslí daného čísla dělitelné osmi, pak je i dané číslo dělitelné osmi. Jestliže není poslední trojčíslí daného čísla dělitelné osmi, pak není ani dané číslo dělitelné osmi. Pomocí dělení rozhodneme, zda čísla a jsou dělitelná devíti : 9 = : 9 = 2864,5 Číslo tedy je dělitelné devíti, zatímco číslo devíti dělitelné není. Nyní odvodíme znak dělitelnosti devíti, abyste nemuseli vždy dělení provádět. Číslo nejprve rozepíšeme takto: = Čísla 1 000, nejsou dělitelná devíti, ale čísla 999, 99 a 9 devíti dělitelná jsou, proto čísla 1 000, 100 i 10 dávají při dělení devíti zbytek 1. Proto: číslo dává při dělení devíti zbytek 3 1 = 3 číslo dává při dělení devíti zbytek 7 1 = 7 číslo 5 10 dává při dělení devíti zbytek 5 1 = 5 číslo 3 dává při dělení zbytek 3 = 3 Jiný způsob: 3753 = = = 3 ( ) + 7 (99 + 1) + 5 (9 + 1) + 3 = = Součet všech průběžných zbytků je = 18 a to je číslo dělitelné devíti. Proto je devíti dělitelné i dané číslo Podobně byste postupovali i u čísla a zjistili byste, že toto číslo devíti dělitelné není.

9 Znak dělitelnosti číslem devět Jestliže je ciferný součet daného čísla dělitelný devíti, pak je i dané číslo dělitelné devíti. Jestliže není ciferný součet daného čísla dělitelný devíti, pak není ani dané číslo dělitelné devíti. U znaku dělitelnosti třemi můžete opět použít metodu rozkladu daného čísla na jeho násobky, nebo použít mnohem jednoduší způsob: sečíst všechny cifry daného čísla a zkoumat, jestli je součet dělitelný číslem tři. ( Číslo devět má dělitele 1, 3, 9. Protože číslo 3 je jedním z dělitelů čísla 9, můžeme postupovat při řešení stejně jako u znaku dělitelnosti číslem devět.) 215 = = 8 není dělitelné třemi 216 = = 9 je dělitelné třemi Znak dělitelnosti číslem tři Jestliže je ciferný součet daného čísla dělitelný třemi, pak je i dané číslo dělitelné třemi. Jestliže není ciferný součet daného čísla dělitelný třemi, pak není ani dané číslo dělitelné třemi. Pokud chcete zjistit, zda je dané číslo dělitelné číslem šest, musíte prokázat, že je též dělitelné číslem dvě a tři. Číslo šest má dělitele 1, 2, 3, 6, - jedničkou je jistě dělitelné každé číslo, musíme tedy ověřit zda je dané číslo dělitelné i ostatními číslicemi. Jistě postačí ověřit, zda je dané číslo dělitelné dvěmi a třemi současně. Pokud totiž takové číslo nalezneme, bude jistě dělitelné i šesti : 2 = : 3 = : 6 = 43 je dělitelné : 2 = 185,5 371 : 3 = 123,6 371 : 6 = 61,8 není dělitelné Znak dělitelnosti číslem šest Je-li dané číslo dělitelné současně dvěma a třemi, pak je dělitelné šesti. Není-li dané číslo dělitelné dvěma nebo třemi, pak není ani dělitelné šesti.

10 Prvočísla a čísla složená Prvočíslo je takové číslo, které má právě dva dělitele jedničku a sebe sama. 7 = 1 7 Složené číslo je takové číslo, které má alespoň tři dělitele. 8 = 1 8, 2 4 Vezměte si přirozená čísla pěkně popořadě. Číslo jedna je dělitelné pouze jedničkou, a proto ji neřadíme ani mezi prvočísla ani mezi čísla složená. Číslo dvě je dělitelné číslem dvě a jedna, je to tedy prvočíslo. Mimochodem jediné sudé prvočíslo. Číslo tři je dělitelné číslem jedna a tři, je to tedy prvočíslo. Číslo čtyři je dělitelné číslem jedna, dvě a čtyři - je to číslo složené. A takhle bychom mohli pokračovat pořád dál. Je třeba si uvědomit, že každé přirozené číslo větší než jedna je dělitelné alespoň jedním prvočíslem - v nejhorším je číslo samo prvočíslem. Víte, kolik je prvočísel do 100? Přesně 25. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Př. Číslo 13 má při dělení dvěma zbytek 1, při dělení 3 zbytek 1, při dělení pěti zbytek 3 atd. Beze zbytku je dělitelné pouze 1 a 13. Proto je 13 prvočíslo.číslo 24 je dělitelné čísly 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 proto není prvočíslem. Nyní bychom Vám mohl položit otázku: Víte kolik je prvočísel? Na tuto otázku byste odpověděli, že prvočísel je nekonečně mnoho. Toto tvrzení je dokonce dokázáno řeckým matematikem Eukleidem, který již ve 3. století př. n. l. provedl onen důkaz. Šel na to oklikou (důkaz sporem). Euklides nejprve předpokládal, že prvočísel je konečně mnoho, počet označme n, prvočísla pak p(1), p(2), p(n). A teď si všimněme čísla P = (p(1) * p(2) * p(3) * * p(n)) + 1. (2 3) + 1 = 7 (2 3 5) + 1 = 31 ( ) + 1 = 211 Je vidět, že takto utvořené číslo není dělitelné žádným prvočíslem, které je v součinu. Dělení vždy vychází se zbytkem jedna. Protože každé číslo s výjimkou jedničky je dělitelné alespoň jedním prvočíslem, musí být takto utvořené číslo prvočíslem. My však již žádné další prvočíslo nemáme, do součinu při tvoření čísla P jsme použili úplně všechna. To znamená, že prvočísel není konečně mnoho, ale je jich nekonečně mnoho. ( Mezi čísly n a 2n, kde n 2, existuje vždy alespoň jedno prvočíslo. Toto dokázal v roce 1850 Rus Čebyšev)

11 K čemu nám prvočísla vlastně jsou a proč jsou tak důležitá? Protože každé přirozené číslo je buď prvočíslem, nebo je můžete napsat jako součin konečného počtu prvočísel. Zkuste to: 2, 3, jsou prvočísla, 4 = 2 2, 6 = 2 3, 8 = 2 2 2, nebo něco většího 42 = Když nějaké přirozené číslo takto zapíšete, mluvíte pak o rozkladu přirozeného čísla na součin prvočísel. Někdy se hovoří o rozkladu čísla na prvočinitele nebo o kanonickém rozkladu. Velký praktický význam mají prvočísla také v kryptografii. (Kryptografie neboli šifrování je nauka o metodách utajování smyslu zpráv převodem do podoby, která je čitelná jen se speciální znalostí.) Eratosthenovo síto První systematickou metodu k nalezení prvočísel použil řecký matematik a astronom Eratosthenes, který žil přibližně v letech 275 až 195 př. n. l. Na voskovou tabulku si napsal čísla větší než 1 a menší než 100, první z čísel tak bylo číslo 2. Toto číslo v tabulce ponechal, vypálil však horkou jehlou v tabulce všechny následující násobky dvou. Dalším prvočíslem v tabulce bylo číslo 3. Toto prvočíslo opět ponechal, vypálil však všechny dosud nevypálené násobky tří. Dalším prvočíslem je číslo 5, znovu toto prvočíslo ponechal a opět vypálil všechny dosud nevypálené násobky pěti. Tímto postupem postupoval tak dlouho, až mu v tabulce zbyla samá prvočísla Protože tabulka byla dosti děravá a připomínala síto, nazývá se tato metoda nalézání prvočísel Eratosthenovo síto. Prvočíselná dvojčata Jsou to dvojice prvočísel, jejichž rozdíl je roven dvěma. Takovými dvojčaty jsou například prvočísla 3 a 5, nebo 101 a 103, nebo 179 a 181. Matematici si myslí, že prvočíselných dvojčat je nekonečně mnoho, ale zatím si jim to nepodařilo dokázat.

12 Společný dělitel, největší společný dělitel Společný dělitel Společný dělitel dvou nebo několika čísel je takové číslo, které dělí každé z těchto čísel beze zbytku. Pokud byste chtěli určit společné dělitele čísel 15 a 18, budete postupovat tak, že každé číslo rozepíšete na jeho dělitele: Číslo 15 má dělitele 1, 3, 5, 15 Číslo 18 má dělitele 1, 2, 3, 6, 9, 18 Jedině čísla 1 a 3 dělí zároveň číslo 15 i číslo 18. Takové dělitele nazýváme společné dělitele. Při řešení úloh není vždy nutné ani účelné vyhledávat všechny společné dělitele. Mnohdy stačí určit toho, který je z nich největší. Každý jiný společný dělitel je totiž jeho dělitelem. U některých skupin čísel umíte určit největšího společného dělitele zpaměti: Jestliže např. jedno z čísel zadané skupiny je dělitelem všech ostatních čísel, pak je toto číslo největším společným dělitelem celé skupiny. Tedy největším společným dělitelem dvojice 8 a 24 je číslo 8, trojice 12, 24 a 48 číslo 12. Při hledání největšího společného dělitele můžete vypsat všechny společné dělitele dané skupiny čísel a vybrat z nich největší číslo, využít můžete např. tabulku. Skupina čísel Společné dělitele Největší společný dělitel 8, 12 12, 30 28, 31 9, 12, 15 6, 10, 15 12, 15, 18 1, 2, 4 1, 2, 3, 6 1 1, 3 1 1,

13 Největší společný dělitel Největší společný dělitel skupiny čísel je takový společný dělitel těchto čísel, který je ze všech společných dělitelů největší. Každý jiný společný dělitel je jeho dělitelem. Největšího společného dělitele budeme označovat písmenem D. Budeme tedy zapisovat: D( 24, 54 ) = 6 (viz. obr.) Největší společný dělitel skupiny čísel je součin všech společných prvočinitelů vybraných z rozkladu jednotlivých čísel. Abyste zjistili, kolikrát se které prvočíslo bude v tomto rozkladu vyskytovat, určíte, kolikrát se vyskytuje v jednotlivých rozkladech. Z těchto počtů vyberete nejmenší a tolikrát toto prvočíslo zahrneme do výsledného součinu. Pokud se stane, že daná skupina čísel žádného společného prvočinitele nemá, je největším společným dělitelem takových čísel číslo 1.

14 Čísla soudělná a nesoudělná V předchozí kapitole jste si mohli všimnout, že existují skupiny čísel, jejichž největší společný dělitel je roven číslu 1. Mezi takovéto dvojice či trojice čísel patří např. (3, 5), (7, 9), (8, 15), (5, 9, 13), (2, 5, 21). Čísla nesoudělná Je-li největší společný dělitel skupiny čísel roven 1, říkáme, že tato čísla jsou nesoudělná. Nesoudělná čísla jsou např. čísla 15 a 16 čísla 23 a 27 čísla 6, 10 a 15 Čísla soudělná Je-li největší společný dělitel skupiny čísel větší než 1, říkáme, že tato čísla jsou soudělná. Například čísla 6 a 8 jsou soudělná, neboť jejich největším společným dělitelem je číslo 2. Máte-li ověřit, že daná čísla jsou soudělná, musíme hledat jejich největšího společného dělitele. Stačí, když najdete jednoho společného dělitele, který je větší než 1. Soudělná čísla jsou např. čísla 8 a 14 (společný dělitel 2) čísla 45 a 75 (společný dělitel 5) čísla 33, 66, a 77 (společný dělitel 11)

15 Společný násobek, nejmenší společný násobek Násobky čísla 2: Násobky čísla 3: Čísla 6, 12 a 18 se nazývají společné násobky čísel 2 a 3. Společný násobek Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto čísel. Jistě není obtížné určit zpaměti několik dalších společných násobků čísel 4 a 6. Jsou to čísla 48, 60, 72, 84, (je jich nekonečno mnoho). Tak jako není nutné obvykle vyhledávat všechny společné dělitele dané skupiny čísel, nebývá vždy nutné určovat více společných násobků. Velmi důležité je umět určit takový násobek, který je ze všech společných násobků nejmenší říkáme mu nejmenší společný násobek. každý jiný společný násobek daných čísel je totiž jeho násobkem. U některých skupin čísel lze nejmenší společný násobek určit zpaměti. Jestliže je například jedno z čísel dané skupiny násobkem všech ostatních, pak je toto číslo nejmenším společným násobkem této skupiny. Tedy nejmenším společným násobkem dvojice 8, 24 je číslo 24, trojice 12, 24, 48 číslo 48. U některých dvojic čísel je nejmenším společným násobkem součin těchto čísel: u čísel 3 a 27 číslo 21, u čísel 8 a 9 číslo 72. U jiných dvojic čísel je nejmenší společný násobek menší než jejich součin: u čísel 3 a 6 je to číslo 6, u čísla 6 a 10 je to číslo 30. U nesoudělných čísel je nejmenším společným násobkem jejich součin. U soudělných čísel je nejmenší společný násobek menší než jejich součin.

16 U větších čísel např. 48 a 150 můžete postupovat jinak. Čísla rozložíte na součin prvočísel. Napíšete rozklady tak, aby stejná prvočísla byla pod sebou. Jeden z rozkladů doplníte prvočísly, která jsou navíc ve druhém rozkladu. Součin těchto prvočísel je hledaný nejmenší společný násobek. 48 = = n (48, 150) = n (48, 150) = = 1200 Nejmenší společný násobek Nejmenší společný násobek těchto čísel je ten společný násobek těchto čísel, který je ze všech společných násobků nejmenší. Každý jiný společný násobek je jeho násobkem. Nejmenší společný násobek budete značit písmenem n. Stručně budete zapisovat: n ( 24, 162 ) = 648 (viz. obr. ), n (3, 7) = 21, n (2, 3, 4) = 12 Nejmenší společný násobek skupiny čísel je součin prvočinitelů vybraných z rozkladů jednotlivých čísel.