Lineární programování
|
|
- Magdalena Kolářová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Lineární programování Petr Tichý 19. prosince
2 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2
3 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za podmínek h(x) = 0, q(x) 0. x Rn Položme f(x) c T x, h(x) Ax b, q(x) x, kde A R m n, b R m, c R n, m n, a přepišme ve standardním tvaru (2) min x R n ct x za podmínek Ax = b, x 0. Problém (2) nazveme lineární program (LP). 3
4 Převod na standardní tvar LP často nejsou zadány ve standardním tvaru, ale např. ve tvaru min x R ct x za podmínek Ax b. n Převod standardní tvar: předchozí lze ekvivalentně zapsat min x R ct x za podmínek Ax + z = b, z 0. n Zavedeme pomocné proměnné x + a x, x = x + x, x + max{x, 0} 0, x max{ x, 0} 0 a původní problém přepíšeme ve standardním tvaru min x R ct x za podmínek Ax = b, x 0, n x [x +, x, z], c [c, c, 0], A [A, A, I]. 4
5 Neexistence řešení Mohou nastat situace, kdy úloha LP nemá řešení množina přípustných bodů Ax = b, x 0 je prázdná. existuje posloupnost x k R n tak, že c T x k pro k, problém není zdola omezen. 5
6 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 6
7 LP a Karush-Kuhn-Tackerovy (KKT) podmínky Je-li x řešením (1), pak existují λ R m, µ R n tak, že f(x ) + h(x )λ + q(x )µ = 0, µ T q(x ) = 0, µ 0. Po dosazení do LP (společně s podmínkami pro přípustnou oblast), (3) c A T λ µ = 0, µ T x = 0, µ 0, Ax = b, x 0. 7
8 KKT podmínky jsou postačující LP je konvexní (f i přípustná oblast jsou konvexní) KKT podmínky jsou i postačující pro existenci globáního minima. Věta Splňuje-li nějaká trojice (λ, µ, x ) podmínky (3), pak je x bodem globáního minima problému (2) Důkaz: 8
9 Duální problém Problém (2) nazveme primární problém. Duálním problémem k problému (2) nazveme problém (4) max λ R m bt λ za podmínky A T λ c. Ekvivalentní vyjádření duálního problému: (5) max λ R m bt λ za podmínek A T λ + µ = c, µ 0. λ a µ se nazývají duální proměnné. Primární a duální problém nad stejnými daty A, b, c. Jaký je mezi nimi vztah? 9
10 Vztah primárního a duálního problému Pozorování: KKT podmínky pro duální problém (5) se shodují s KKT podmíkami (3) pro problém (2). Lemma (slabá dualita) Je-li x bodem přípustné oblasti problému (2) a λ bodem přípustné oblasti problému (4), pak platí c T x λ T b. Důsledek Jsou-li x 0 a λ 0 body přípustných oblastí problémů (2) a (4) a platí-li c T x 0 = λ T 0 b, potom jsou x 0 a λ 0 řešeními korespondujících problémů. 10
11 Vztah primárního a duálního problému Silná dualita min x R ct x za podmínek Ax = b, x 0. n max λ R bt λ za podmínky A T λ c. m Věta (silná dualita) Problém (2) má konečné řešení právě tehdy, když problém (4) má konečné řešení. Mají-li oba problémy konečná řešení, pak jsou si hodnoty cílových funkcí v řešení rovny. Je-li jeden z problémů neomezený, potom je přípustna oblast druhého problému prázdná. 11
12 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 12
13 Bázické body Idea Nechť A R m n, b R m, m n. Uvažujme problém (6) Ax = b. Je-li rank(a) = m, lze z A vybrat m lineárně nezávislých sloupců a poskládat je do (regulární) matice B, např. (pro jednoduchost), B = [a 1,..., a m ]. Soustava Bx B = b má jednoznačné řešení. Položíme-li [ ] xb x =, 0 je x jedním z řešení soustavy (6). 13
14 Bázické body Definice Definice (bázický bod) Uvažujme problém (6) a nechť B R m m je regulární matice vytvořená z vybraných sloupců matice A. Položme všechny složky vektoru x, které nejsou asociovány se sloupci B, rovny nule. Položme zbývající složky x rovny příslušným složkám řešení soustavy Bx B = b. Takový vektor x nazveme bázickým bodem problému (6). Složky vektoru x korespondující k sloupcům B nazveme bázické proměnné. V dalším předpoklad: m < n a A má lineárně nezávislé řádky. Pokud je jedna nebo více bázických proměnných nulových, pak x nazveme degenerovaný bázický bod. Zajímají nás bázické přípustné body splňující navíc x 0. 14
15 Řešení a bázické přípustné body Věta (Základní věta lineárního programování) Uvažujme problém za podmínek min x R ct x n (7) Ax = b, x 0, kde A R m n, rank(a) = 0. Existuje-li přípustný bod splňující (7), pak existuje i bázický přípustný bod. Existuje-li řešení výše uvažovaného problému, pak existuje i řešení, které je bázickým přípustným bodem. Důsledek: Řešení problému lineárního programování stačí hledat mezi bázickými přípustnými body. 15
16 Geometrie úlohy Definice (extrémní bod) Nechť C R n je konvexní množina. Bod x C nazveme extrémním bodem množiny C, pokud neexistují dva různé body x 1 C a x 2 C takové, že x = αx 1 + (1 α)x 2 pro nějaké 0 < α < 1. Věta (ekvivalence extrémních a bázických přípustných bodů) Nechť A R m n, b R m, m < n, rank(a) = m. Nechť K je konvexní polytop (průnik poloprostorů) obsahující všechny vektory x R n splňující podmínky (7), Ax = b, x 0. Potom x je extrémním bodem K právě tehdy, je-li přípustným bázickým bodem. 16
17 Geometrie úlohy 17
18 Důsledky geometrické interpretace úlohy 1 Je-li konvexní množina K určená podmínkami Ax = b a x 0 neprázdná, pak má alespoň jeden extrémní bod. 2 Množina K určená podmínkami Ax = b a x 0 má nejvýše konečný počet extrémních bodů. 3 Je-li K omezená, pak je K mnohostěnem (polyhedronem), tj. je konvexní kombinací konečného počtu bodů. 18
19 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 19
20 Idea simplexové metody Idea: Procházet bázické přípustné body (jeden z nich je řešením). V každém proku je potřeba: zůstat v množině bázických přípustných bodů, snižovat hodnotu cílové funkce, umět detekovat případ, kdy je problém neomezený. 20
21 Formalismus výběru sloupců Ze sloupců matice A vybereme m, které jsou LN B. Označme B množinu indexů takových, že B = [a i ] i B, A B B. Dále označme N = {1, 2, 3,..., n} \ B a N = [a i ] i N, A N N. B nazveme množinou bázických a N nebázických indexů. Podle B a N lze rozdělit n-složkové vektory x, µ a c na x B [x i ] i B, x N [x i ] i N, c B [c i ] i B, c N [c i ] i N, µ B [µ i ] i B, µ N [µ i ] i N. 21
22 Idea dosazení do KKT Podle definic indexových množin B a N, a matic B a N je Ax = b Bx B + Nx N = b. x je dle definice bázickým bodem x B = B 1 b, x N = 0. Idea: Mějmě bázický přípustný bod x a příslušné indexové množiny. Dosaďme jej do KKT podmínek a volme ostatní parametry tak, aby byly KKT podmínky co nejlépe splněny. (Pokud se podaří nalézt x splňující KKT podmínky, máme řešení. 22
23 Dosazení bázického přípustného bodu do KKT podmínek Ax = b, x 0, µ T x = 0, c A T λ µ = 0, µ 0. x je přípustný bázický první dvě podmínky splněny a x N = 0. Volme µ B 0, potom x T µ = x T B µ B + x T N µ N = 0 třetí OK. Dopočítejme λ a µ N tak, aby byla splněna čtvrtá podmínka: c B B T λ µ B = 0 a c N N T λ µ N = 0. S využitím µ B = 0 dostaneme λ = B T c B a µ N = c N N T λ. Pokud µ N 0 pátá splněna a máme řešení. Pokud ne, využijeme záporné složky µ N k přesunu do lepšího bodu. 23
24 Formulace problému přesunu Máme bázický přípustný x a množiny indexů B, N. Chceme přesun tak, aby y byl bázický přípustný, x y aby byla lépe splněna podmínka nezápornosti µ, aby klesla cenová funkce, c T x c T y, aby došlo k výměně pouze jednoho indexu mezi B a N. Pivoting: Chceme určit vstupní index k N a výstupní index p B, zaměnit je, a určit příslušné bázické řešení y. 24
25 Určení vstupního a výstupního indexu Zvolme vstupní index k tak, že µ k < 0. a k je příslušný sloupec A. Nové y bude určitě splňovat y i = 0 pro i N, i k. Chceme Ay = b dosaďme, a proto Ay = By B + a k y k = b = Ax = Bx B, (8) y B = x B B 1 a }{{ k y } k. d Volme y k > 0 jako nejmenší kladné číslo takové, že je některá ze složek y B nulová. Index této nulové složky je výstupní index p. Geometricky: Pohyb po hraně přípustného mnohostěnu až dokud nedojdeme do dalšího vrcholu. 25
26 Jak krok (8) ovlivní c T x? jednoduchými algebraickými úpravami lze ukázat c T y = c T x + µ k y k. Víme, že µ k < 0. Je-li báze nedegenerovaná, je y k > 0 a µ k y k < 0. Věta Je-li lineární program (2) omezený a nedegenerovaný, pak simplexová metoda nalezne optimální řešení po konečné počtu kroků. 26
27 Krok simplexové metody Dáno B, N a x, x N = 0. Řešme B T λ = c B λ. Spočtěme µ N = c N N T λ. Pokud µ N 0 stop, máme řešení. Určeme vstupní index k tak, že µ k < 0. Řešme Bd = a k, získáme d = B 1 a k. Pokud d 0 stop, neomezený problém. Určeme y k a výstupní index p: (x B ) i y k min d i >0 d i a p je index, pro který nastává minimum. Aktualizace y B = x B dy k, y N = [0,..., 0, y k, 0,..., 0] T. Záměňme v B a N indexy k a p. 27
28 Krok simplexové metody 28
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy lineárního programování študenti MFF 15. augusta 2008 1 15 Základy lineárního programování Požadavky Simplexová metoda Věty o dualitě (bez důkazu)
VíceObecná úloha lineárního programování
Obecná úloha lineárního programování Úloha Maximalizovat hodnotu c T x (tzv. účelová funkce) za podmínek Ax b (tzv. omezující podmínky) kde A je daná reálná matice typu m n a c R n, b R m jsou dané reálné
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
Vícefakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.
Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 3. přednáška SIMPLEXOVÁ METODA I. OSNOVA PŘEDNÁŠKY Standardní tvar MM Základní věta LP Princip simplexové metody Výchozí řešení SM Zlepšení řešení
VíceProblém lineární komplementarity a kvadratické programování
Problém lineární komplementarity a kvadratické programování (stručný učební text 1 J. Rohn Univerzita Karlova Matematicko-fyzikální fakulta Verze: 17. 6. 2002 1 Sepsání tohoto textu bylo podpořeno Grantovou
Vícex 2 = a 2 + tv 2 tedy (a 1, a 2 ) T + [(v 1, v 2 )] T A + V Příklad. U = R n neprázdná množina řešení soustavy Ax = b.
1. Afinní podprostory 1.1. Motivace. Uvažujme R 3. Jeho všechny vektorové podprostory jsou počátek, přímky a roviny procházející počátkem a celé R 3. Chceme-li v R 3 dělat geometrii potřebujeme i jiné
VíceFIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody. Dualita. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
FIT ČVUT MI-LOM Lineární optimalizace a metody Dualita Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Michal Černý, 2011 FIT ČVUT, MI-LOM, M. Černý, 2011: Dualita 2/5 Dualita Evropský
Vícef ( x) = 5x 1 + 8x 2 MAX, 3x x ,
4. okruh z bloku KM1 - řídicí technika Zpracoval: Ondřej Nývlt (o.nyvlt@post.cz) Zadání: Lineární programování (LP), simplexová metoda, dualita v LP. Nelineární programování. Vázaný extrém. Karush-Kuhn-Tuckerova
Vícee-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010
Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení
Více4EK213 LINEÁRNÍ MODELY
4EK213 LINEÁRNÍ MODELY Úterý 11:00 12:30 hod. učebna SB 324 Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2. PŘEDNÁŠKA MATEMATICKÝ MODEL ÚLOHY LP Mgr. Sekničková Jana, Ph.D. 2 OSNOVA PŘEDNÁŠKY Obecná formulace MM Množina
Více6 Simplexová metoda: Principy
6 Simplexová metoda: Principy V této přednášce si osvětlíme základy tzv. simplexové metody pro řešení úloh lineární optimalizace. Tyto základy zahrnují přípravu kanonického tvaru úlohy, definici a vysvětlení
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
Více12. Lineární programování
. Lineární programování. Lineární programování Úloha lineárního programování (lineární optimalizace) je jedním ze základních problémů teorie optimalizace. Našim cílem je nalézt maximum (resp. minimum)
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceÚvod do teorie her
Úvod do teorie her 2. Garanční řešení, hry s nulovým součtem a smíšené strategie Tomáš Kroupa http://staff.utia.cas.cz/kroupa/ 2017 ÚTIA AV ČR Program 1. Zavedeme řešení, které zabezpečuje minimální výplatu
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
Více7 Konvexní množiny. min c T x. při splnění tzv. podmínek přípustnosti, tj. x = vyhovuje podmínkám: A x = b a x i 0 pro každé i n.
7 Konvexní množiny Motivace. Lineární programování (LP) řeší problém nalezení minima (resp. maxima) lineárního funkcionálu na jisté konvexní množině. Z bohaté škály úloh z této oblasti jmenujme alespoň
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více4EK201 Matematické modelování. 2. Lineární programování
4EK201 Matematické modelování 2. Lineární programování 2.1 Podstata operačního výzkumu Operační výzkum (výzkum operací) Operational research, operations research, management science Soubor disciplín zaměřených
Více1 Řešení soustav lineárních rovnic
1 Řešení soustav lineárních rovnic 1.1 Lineární rovnice Lineární rovnicí o n neznámých x 1,x 2,..., x n s reálnými koeficienty rozumíme rovnici ve tvaru a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b, (1) kde koeficienty
Více13. Lineární programování
Jan Schmidt 2011 Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze Zimní semestr 2011/12 MI-PAA EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND PRAHA & EU: INVESTUJENE DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceEkonomická formulace. Matematický model
Ekonomická formulace Firma balící bonboniéry má k dispozici 60 čokoládových, 60 oříškových a 85 karamelových bonbónů. Může vyrábět dva druhy bonboniér. Do první bonboniéry se dávají dva čokoládové, šest
Více3. ANTAGONISTICKÉ HRY
3. ANTAGONISTICKÉ HRY ANTAGONISTICKÝ KONFLIKT Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku,
VíceSoustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.
[1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.
Více1/10. Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic
1/10 Kapitola 12: Soustavy lineárních algebraických rovnic Soustavy lineárních algebraických rovnic 2/10 Definice: Soustavou m lineárních algebraických rovnic o n neznámých rozumíme soustavu rovnic a 11
Více1 Duální simplexová metoda
1 Duální simplexová metoda Autor: Markéta Popelová Datum: 8.5.2011 Předmět: Základy spojité optimalizace Zadání Mějme matici A R m n a primární úlohu lineárního programování v normálním tvaru (P) a k ní
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceZáklady spojité optimalizace
Základy spojité optimalizace 2. ledna 2013 Obsah 1 Přehled 2 1.1 Obecná úloha........................... 2 1.2 Dělení úloh............................ 2 1.3 Volný extrémem......................... 3 1.4
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceMetody lineární optimalizace Simplexová metoda. Distribuční úlohy
Metody lineární optimalizace Simplexová metoda Dvoufázová M-úloha Duální úloha jednofázová Post-optimalizační analýza Celočíselné řešení Metoda větví a mezí Distribuční úlohy 1 OÚLP = obecná úloha lineárního
VíceSoustavy linea rnı ch rovnic
[1] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení a) soustavy, 10, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c) P. Olšák 2010, d) BI-LIN, e) L, f) 2009/2010, g)l.
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Víceα 1 α 2 + α 3 = 0 2α 1 + α 2 + α 3 = 0
Vzhledem k tomu, že jsem to psala ve velkém spěchu, mohou se vyskytnout nějaké chybičky. Pokud nějaké najdu, opravím je hned po prázdninách. Zadání A. 1. Vektory u, v, w jsou lineárně nezávislé. Rozhodněte,
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceANTAGONISTICKE HRY 172
5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí
Vícea + b + c = 2 b + c = 1 a b = a 1 2a 1 + a a 3 + a 5 + 2a 2 + a 2 + a
Zadání A. 1. Polynom P (x) má v uspořádané bázi (x 2 + x 1, 2x 2 x 1, x 2 + x + 2) souřadnice (1, 1, 1). Najděte jeho souřadnice vzhledem k uspořádané bázi (x 2 1, x 2 + x 1, x 2 + x). Nejprve si spočítáme
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
Více4EK213 Lineární modely. 5. Dualita v úlohách LP
4EK213 Lineární modely 5. Dualita v úlohách LP 5. Dualita v úlohách LP Obecné vyjádření simplexové tabulky Formulace duálního problému Formulace symetrického duálního problému Formulace nesymetrického
VíceÚvod do optimalizace
Přednáška Ú-Opt, February 19, 2006:1324 Petr Lachout 1 Úvod do optimalizace Prof. RNDr. Jitka Dupačová, DrSc. Doc. RNDr. Petr Lachout, CSc. KPMS MFF UK Verze 19. února 2006 2 Obsah 1 Úvod 5 2 Optimalizace
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceLineární algebra : Báze a dimenze
Lineární algebra : Báze a dimenze (5. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 9. dubna 2014, 13:33 1 2 5.1 Báze lineárního prostoru Definice 1. O množině vektorů M z LP V řekneme,
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
Více4EK213 Lineární modely. 4. Simplexová metoda - závěr
4EK213 Lineární modely 4. Simplexová metoda - závěr 4. Simplexová metoda - závěr Konečnost simplexové metody Degenerace Modifikace pravidla pro volbu vstupující proměnné Blandovo pravidlo Kontrola výpočtu
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceTeorie her a ekonomické rozhodování. 2. Maticové hry
Teorie her a ekonomické rozhodování 2. Maticové hry 2.1 Maticová hra Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací pomocí matematických modelů Hra v normálním tvaru
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceArnoldiho a Lanczosova metoda
Arnoldiho a Lanczosova metoda 1 Částečný problém vlastních čísel Ne vždy je potřeba (a někdy to není ani technicky možné) nalézt celé spektrum dané matice (velké řídké matice). Úloze, ve které chceme aproximovat
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Více4EK213 Lineární modely. 12. Dopravní problém výchozí řešení
4EK213 Lineární modely 12. Dopravní problém výchozí řešení 12. Distribuční úlohy LP Úlohy výrobního plánování (alokace zdrojů) Úlohy finančního plánování (optimalizace portfolia) Úlohy reklamního plánování
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceMatematika 1 MA1. 2 Determinant. 3 Adjungovaná matice. 4 Cramerovo pravidlo. 11. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 29
Matematika 1 11. přednáška MA1 1 Opakování 2 Determinant 3 Adjungovaná matice 4 Cramerovo pravidlo 5 Vlastní čísla a vlastní vektory matic 6 Zkouška; konzultace; výběrová matematika;... 11. přednáška (15.12.2010
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceM5170: Matematické programování
M5170: Matematické programování Petr Zemánek (Masarykova Univerzita, Brno) Kapitola 4: Základy matematického programování (verze: 3. prosince 2018) Vymezení základních pojmů Nyní se již dostáváme k úlohám
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 3. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 21 Co nás dneska čeká... Co je to soustava lineárních
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
Více3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost
3 Lineární kombinace vektorů. Lineární závislost a nezávislost vektorů. Obrázek 5: Vektor w je lineární kombinací vektorů u a v. Vektory u, v a w jsou lineárně závislé. Obrázek 6: Vektor q je lineární
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VíceVlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou
1 Vlastní (charakteristická) čísla a vlastní (charakteristické) vektory matice Pro zadanou čtvercovou matici A budeme řešit maticovou rovnici A x = λ x, kde x je neznámá matice o jednom sloupci (sloupcový
VíceCvičení z Lineární algebry 1
Cvičení z Lineární algebry Michael Krbek podzim 2003 2392003 Hodina Jsou dána komplexní čísla z = +2 i a w = 2 i Vyjádřete c algebraickém tvaru (z + w) 3,, (zw), z w 2 Řešte v komplexním oboru rovnice
Více2 Spojité modely rozhodování
2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
Více4EK213 Lineární modely. 10. Celočíselné programování
4EK213 Lineární modely 10. Celočíselné programování 10.1 Matematický model úlohy ILP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceParametrické programování
Parametrické programování Příklad 1 Parametrické pravé strany Firma vyrábí tři výrobky. K jejich výrobě potřebuje jednak surovinu a jednak stroje, na kterých dochází ke zpracování. Na první výrobek jsou
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
Více[1] Motivace. p = {t u ; t R}, A(p) = {A(t u ); t R} = {t A( u ); t R}
Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost s diagonální
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18
6. Lineární nezávislost a báze 6. Lineární nezávislost a báze p. 1/18 6. Lineární nezávislost a báze p. 2/18 Lineární nezávislost a báze 1. Závislé a nezávislé vektory 2. Lineární kombinace a závislost
VíceSoustavy lineárních rovnic a determinanty
Soustavy lineárních rovnic a determinanty Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Více4EK311 Operační výzkum. 2. Lineární programování
4EK311 Operační výzkum 2. Lineární programování 2.2 Matematický model úlohy LP Nalézt extrém účelové funkce z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n na soustavě vlastních omezení a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceSoučin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.
Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více2. Určete jádro KerL zobrazení L, tj. nalezněte alespoň jednu jeho bázi a určete jeho dimenzi.
Řešené příklady z lineární algebry - část 3 Typové příklady s řešením Příklad 3.1: Zobrazení L: P 3 R 23 je zobrazení z prostoru P 3 všech polynomů do stupně 3 (včetně nulového polynomu) do prostoru R
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
Více