9. Optimalizace v systémech hromadné obsluhy

Transkript

1 9. Optimlize v systémeh hromdé obsluhy Cíl: před likmi obsluhy se emjí vytvářet příliš dlouhé froty součsě liky obsluhy mjí být dosttečě využity. Je-li mlá itezit obsluhy, tvoří se dlouhá frot klesá zisk. Je-li opk velká itezit obsluhy, jsou liky obsluhy po určitou dobu evyužity stoupjí ákldy. Potřebujeme tedy v systému s jedou likou obsluhy zjistit optimálí itezitu obsluhy v systému s víe likmi optimálí počet liek obsluhy tk, by při miimálíh ákldeh bylo dosžeo mximálího zisku.

2 9.. Optimlize systému M/M// /FIFO Vstupí proud zákzíků je Poissoův proes s prmetrem, dob obsluhy se řídí expoeiálím rozložeím. Ve stbilizovém systému záme: ákldy obsluhu jedoho poždvku; ákldy údržbu prázdého systému z jedotku čsu. Ve většiě přípdů je itezit vstupího proudu dá, můžeme tedy ovlivit pouze itezitu obsluhy µ. Hledáme itezitu obsluhy µ tk, by fuke ákldů ztrát ( ) = µ + E( N) F µ = µ + µ bývl svého miim. Fuki F ( µ ) derivujeme podle µ derivi položíme rovu : ( µ ) df dµ = ( µ ) = µ = ± Vzhledem k tomu, že systém musí být shope se stbilizovt (tj. < µ ), je miim dosžeo pro d F dµ µ = + ( µ ) = ( µ ). (Jedá se skutečě o miimum, ož lze ověřit pomoí. derive: >.)

3 9.. Příkld: N mlou poštu s jedou přepážkou přihází v období ustáleého provozu průměrě 8 klietů z h. Nákldy obsluhu jedoho kliet čií Kč prostojové ákldy přepážku jsou Kč/h. Stovte optimálí dobu obsluhy jedoho kliet vyčíslete fuki ákldů ztrát pro optimálí itezitu obsluhy. Řešeí: = 8, =, = µ = + = = = zákzíků z h = h = mi s µ 8 F = 8 ( ) = + 6Kč Optimálí dob obsluhy zákzík je miuty sekud. Pro tuto optimálí dobu obsluhy čií hodot fuke ákldů ztrát 6 Kč.

4 9.. Pozámk: Uvedeme ještě jiý přístup k optimlizčí úloze. Vedle ákldů budeme uvžovt ještě ákldy, ož jsou ákldy orietové udržeí zákzík z jedotku čsu. Budeme hledt tkovou itezitu provozu ákldy miimálí. Zvedeme kriteriálí fuki ( ρ) = ρ + ( ρ) C + ρ ρ Hledáme miimum kriteriálí fuke vzhledem k ρ: ( ρ) dc dρ Přípd = + = ρ = ± ( ρ) ρ = µ ρ = + evyhovuje, protože ve stbilizovém systému ρ < itezit provozu je ρ =, přičemž < <. Pomoí. derive kriteriálí fuke ověříme, že jde skutečě o miimum: d C dρ ( ρ) = ( ρ) > pro ρ =., při íž jsou elkové průměré. Tedy optimálí

5 9.. Příkld: Mlá stvebí firm s jedím změstem očekává v příštím měsíi tyto ákldy: pelize úvěrujíí bkou z ečiost je 5 Kč, ákldy plt změste jsou 5 Kč ákldy reklmu Kč. Z jkýh podmíek může mít firm miimálí ákldy? Řešeí: = 5, = 5, = ρ = = = =, Miimálí ákldy při této itezitě provozu čií ρ ρ,68,68 ( ) = ρ + ( ρ) + = 5, (,68) + 6 ρ Kč. C = Itezit obsluhy tedy musí být µ = =, 6,68 Zmeá to, že itezit obsluhy musí být tkřk,5 x vyšší ež itezit vstupu..

6 9.5. Příkld: Sledujeme čiost výdejy ářdí ve strojíreském závodě. Nákldy obsluhu jedoho poždvku čií Kč, ztráty z prostojů jsou Kč/h. V průměru má výdej 8 poždvků z h. Uvžujeme ásledujíí vrity čiosti výdejy: vrit I: eomezeá kpit systému, optimálí itezit obsluhy; vrit II: ve frotě mohou být mximálě poždvky, optimálí itezit obsluhy; vrit III: ve výdejě jsou okék, systém má eomezeou kpitu, itezit obsluhy je polovičí ež vypočteá optimálí; vrit IV: ve výdejě jsou okék, ve frotě mohou být mximálě poždvky, itezit obsluhy je polovičí ež vypočteá optimálí. Pro kždou z těhto vrit vypočtěte: - prvděpodobost, že systém je prázdý; - využití systému; - E(N), E(N Q ), E(N S ); - E(W), E(W Q ), E(W S ); - prvděpodobost odmítutí poždvku; - elkové ákldy ztráty z h provozu.

7 Řešeí: =, =,, 8 = µ = + = = 8 + =, poždvků z h Vrit I: Jde o systém M/M// /FIFO, = 8, µ =, Použijeme fuki eomezey_.m =,5 κ = 55,85 % E(N) =,69 E(N Q ) =,76 E(N S ) =,5585 E(W) =,58 h = 9 mi 9 s E(W Q ) =,88 h = 5 mi 8 s E(W S ) =,698 h = mi s P Z = F(µ) = µ + E(N) = (8 + ) +.,69 =,98 Kč

8 Vrit II: Jde o systém M/M///FIFO, = 8, µ = 8 +, =, m = Použijeme fuki odmiti.m =,89 κ = 5,9 % E(N) =,88 E(N Q ) =,9 E(N S ) =,59 E(W) =,9 h = 6 mi 5 s E(W Q ) =, h = mi 9 s E(W S ) =,698 h = mi s P Z =,85 F(µ) = µ + E(N) = (8 + ) +.,88 = 69,87 Kč

9 Vrit III: Jde o systém M/M// /FIFO, = 8, µ = (8 + )/, = Použijeme fuki eomezey_.m =,8 κ = 55,85 % E(N) =,6 E(N Q ) =,56 E(N S ) =,7 E(W) =,9 h = mi s E(W Q ) =,6 h = mi 8 s E(W S ) =,96 h = 8 mi s P Z = F(µ) = µ + E(N) = (8 + ) +.,6 = 5,58 Kč

10 Vrit IV: Jde o systém M/M///FIFO, = 8, µ = (8 + )/, =, m = Použijeme fuki odmiti.m =,5 κ = 5,5 % E(N) =,75 E(N Q ) =,6 E(N S ) =,58 E(W) =,555 h = 9 mi s E(W Q ) =,59 h = 57 s E(W S ) =,96 h = 8 mi s P Z =,59 F(µ) = µ + E(N) = (8 + ) +.,75 = 7,79 Kč

11 Shrutí výsledků: typ κ E(N) E(N Q ) E(N S ) E(W) E(W Q ) E(W S ) P Z F(µ) I,5 55,85 %,69,76, mi 9 s 5 mi 8 s mi s Kč II,89 5,9 %,88,9,59 6 mi 5 s mi 9 s mi s 8,5 % 7 Kč III,8 55,85 %,6,56,7 mi s mi 8 s 8 mi s 6 Kč IV,5 5,5 %,75,6,58 9 mi s mi 57 s 8 mi s 5,9 % 7 Kč

12 9.6. Optimlize systému M/M// /FIFO Vstupí proud zákzíků je Poissoův proes s prmetrem, dob obsluhy se řídí expoeiálím rozložeím s prmetrem µ. Záme: ákldy čekjíího zákzík z jedotku čsu, ákldy evyužitou liku obsluhy z jedotku čsu. Cílem je jít tkový počet liek obsluhy, při ěmž jsou průměré elkové ákldy miimálí. [ ] Zvedeme kriteriálí fuki C( ) E( N ) + E( ) =. Q N S Prví sčíte vyjdřuje průměré ákldy čekjíího zákzík. Ty jsou úměré středí hodotě počtu zákzíků ve frotě. Druhý sčíte vyjdřuje průměré ákldy evyužití liky obsluhy. Ty jsou úměré středí hodotě počtu evyužitýh liek. Přitom E( N ) ρ ρ β! Q = PQ, PQ = = ( ρ), ρ Po doszeí do kriteriálí fuke dosteme: ( ) ρ = + C ( ρ) ( ρ) Systém se může stbilizovt, když ( ) mi C( ) C * = ; >, N µ. β > ρ = = µ β =, µ, tedy β = ρ, = + j!! ( β), ( N ) = ρ > µ j= β j β. Hledáme * tk, že E S.

13 9.7. Příkld: Zčíjíí softwrová firm může očekávt objedávky z měsí. Chrkter objedávky je tkový, že progrmátor je shope vyřešit z měsí průměrě dvě objedávky. Měsíčí ákldy provizorí řešeí, kdy zákzík čeká koečé řešeí, jsou 5 Kč. Nemá-li progrmátor prái, dostává z rezervího fodu firmy zákldí plt Kč. V přípdě, že progrmátor má objedávku, je jeho zákldí plt plus výkoostí přípltek zel pokryt z ey objedávky. Při jkém počtu progrmátorů budou průměré měsíčí ákldy stbilizové firmy miimálí? Řešeí: β ρ =, µ =, = 5, =, β = =, ρ = =, C( ) = + ρ µ ρ j j β β β =, = + = + j= j!! ( ) β j= j!! ( β)! ( ) Z podmíky stbility plye, že miimálí počet progrmátorů je. ( ), 8 β 8 ρ =, = =, = = 6 9! 6 9 ρ 8 E( N Q ) = = = =, E( N ) ( ρ) S = ρ = = 8 C ( ) = 5 + ( ) = 5, Kč 9 = : = 7

14 6 β ρ =, = =, =! ρ E( NQ ) = = = ( ρ), E( N S ) = ρ = = C ( ) = 5 + ( ) = 8695, 65 Kč = : 6 = = 5 9 ρ =, = =, 5 67 ρ 5 8 E( NQ ) 5 = = E N 5 9 ( ρ) 5 5 S = ρ = = 5 8 C ( 5) = 5 + ( 5 ) = 99, 5 Kč = 5: =, ( ) 5 β = 5! 9 = 67 5 = 5 5 ρ =, = =, ρ E( NQ ) 6 = = E N 6 ( ρ) 9 S = ρ = = C ( 6) = 5 + ( 6 ) = 5, 5 Kč = 6: =, ( ) 6 β = 6! = =

15 Shrutí výsledků: ρ C() 5, Kč 5 6 =,6 =, 7 8 =,5 =, 87 =, =, =, =, Vidíme, že optimálí počet progrmátorů je ,65 Kč 99,5 Kč 5,5 Kč