Řešení: 20. ročník, 2. série

Transkript

1 Řešení: 20. ročník, 2. série.úloha Předpokládejme, že hledaná cesta existuje. Pak je možné vyrazit z bodu A do bodu D po žluté cestě (obvodu obdélníka). Abychom splnili všechny podmínky zadání, musíme po příchodu na křižovatku (body D, C, B) zvolit cestu druhé barvy, než po které jsme přišli. Jinak by nedošlo k překřížení cesty. Z bodu D tedy půjdeme po zelené cestě, z bodu C po žluté a z bodu B opět po zelené. Z bodu A bychom měli pokračovat po zelené cestě. Protože jsme z bodu B přišli po zelené cestě, není možné v cestě pokračovat. Hledaná cesta tedy neexistuje. 2.úloha Každý pravý zlomek lze převést na součet kmenných zlomků následujícím postupem. Najdeme největší kmenný zlomek, který je menší (nebo roven) než daný pravý zlomek. Rozdíl vyjádříme pravým zlomkem a opět vyhledáme největší kmenný zlomek. Budeme postupovat tak dlouho, dokud nepůjde rozdíl vyjádřit pravým zlomkem, tedy dokud čitatel rozdílu nebude. Protože se čitatel rozdílu s každým sčítancem snižuje, je zřejmé, že k hledanému rozkladu dojdeme v konečném počtu kroků. Hledaný rozklad pravého zlomku pak bude tvořit součet kmenných zlomků. Příklad: Každý pravý zlomek je možné rozložit na součet kmenných zlomků. Pro zlomek 3 7 najdeme největší kmenný zlomek menší než 3 7, tj. 3 2 opět najdeme největší kmenný zlomek, tj. 2 23, hledaný rozklad zlomku 3 7 Řešení pro zadané zlomky: 3 2. Pro rozdíl = tedy pro Protože rozdíl = tvoří kmenný zlomek tvoří kmenné zlomky. = = = = =

2 3.úloha Pokud si vyjádříme rozdíl DOUBI 0xDUB pak za předpokladu, že O značí nulu, můžeme zapsat výsledek jako DOUBI DUBO xy OOI Po postupném dosazování různých číslic za D získáváme ještě bližší vyjádření rozdílu. Pro D = Pro D = 2 Pro D = 3 Pro D = 4 Pro D = 5 Pro D = 6 Pro D = 7 Pro D = 8 Pro D = 9 DOUBI 0xDUB = 900I DOUBI 0xDUB = 800I DOUBI 0xDUB = 2700I DOUBI 0xDUB = 3600I DOUBI 0xDUB = 4500I DOUBI 0xDUB = 5400I DOUBI 0xDUB = 6300I DOUBI 0xDUB = 7200I DOUBI 0xDUB = 800I Pokud D=, pak DUB vyjadřuje číslo mezi 23 a 98. Počet dubů v doubí (bez 0) je tedy číslo mezi 46 a 73 (protože 9008: 23 = 73,2, je 73 největší počet; respektive 9007:98 = 45,5, tedy 46 je nejmenší počet dubů). Z tohoto intervalu budeme postupně stejně jako Honzík dosazovat prvočísla (47, 53, 59, 6, 67, 7). Zjistíme, zda-li je možné najít jejich násobek mezi Podobnou úvahu provedeme i pro zbylé možnosti volby D. Jediná vyhovující možnost je pro D= 9, O=0, U=7, B=6, I=8. DOUBI = DUB = 976 DOUBI 0xDUB = = 8008

3 4.úloha Pokud by se brouk pohyboval po úsečce, vypadala by jeho cesta z bodu A do bodu B takto: Kolečka s čísly označují jeho polohu v průběhu cesty. Protože se brouk pohybuje po úsečce, která se na desce otáčí, můžeme jeho cestu zaznamenat pomocí otáčení samotné úsečky.

4 Pokud se bude brouk pohybovat poloviční rychlostí, dojde pouze do středu úsečky, který se nachází ve středu desky. Cesta na desce vykreslí tuto křivku:

5 Pokud se bude brouk pohybovat dvojnásobnou rychlostí, dojde na konec úsečky v době, kdy se gramofonová deska otočí pouze do poloviny. Cesta na desce vykreslí tuto křivku:

6 5.úloha Protože má být n přirozené číslo, ze zadání vyplývá, že musí být dělitelné 2, 3 a 5. Číslo n tedy můžeme zapsat ve tvaru x y z n = Pak tedy n x y z n x y z n x y z = 2 3 5, = 2 3 5, = n n Protože má být 2 mocninou přirozeného čísla, pak z rovnosti x y z = vyplývá, že x- je 2 2 dělitelné 2, y je dělitelné 2, z je dělitelné 2. Podobně z rovnosti Z rovnosti n 5 n 3 x y z = vyplývá, že x je dělitelné 3, y- je dělitelné 3, z je dělitelné 3. x y z = vyplývá, že x je dělitelné 5, y je dělitelné 5, z- je dělitelné 5. Protože n má být nejmenší přirozené číslo, x = 5, y = 0, z = 6. Hledané n tedy můžeme zapsat jako n = úloha Počet dělitelů daného čísla a můžeme zjistit z jeho prvočíselného rozkladu. Nechť r r2 r3 r a = p n p2 p3 L p n, kde p i jsou prvočísla a r i kladná přirozená čísla, i =, 2,..., n. s s2 s3 s Každý dělitel čísla a se dá zapsat ve tvaru p n p2 p3 L p n, čísla s i mohou nabývat r i + hodnot, a to 0,, 2,..., r i. r + r + r + L r +. Počet všech různých dělitelů čísla a je tak dán součinem ( ) ( ) ( ) ( ) Rozklad čísla 2007 na součin prvočísel je 2007 = Hledané číslo s 2007 děliteli se bude skládat z 3 nejmenších prvočísel (různých od ), nejmenší bude v 222. mocnině, obě zbylá v druhé mocnině. Hledané prvočíslo je tedy