1. Posloupnosti čísel

Transkript

1 1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina H množiny všech reálných čísel R (H R): N H : n a n. Budeme zapisovat: {a n }; {a n } + n=1, {a 1, a 2, a 3,...}. Číslo a n se nazývá n-tý člen posloupnosti. Způsoby zadání posloupností a) předpisem pro n-tý člen b) výčtem členů c) rekurentně (a) (b); (c) (b) - jednoduché (a) (c); (c) (a) - možné, ale ne vždy jednoduché (b) (a); (b) (c) - až na elementarity obtížné Grafické znázornění posloupností Jako body na reálné ose Jako body v souřadnicovém systému!!! Posloupnosti většinou nejsou ani aritmetické ani geometrické!!! Definice 1.2 Nechť jsou dány poslouposti {a n }, {b n }. Součtem, rozdílem, součinem a podílem daných posloupností nazýváme posloupnosti {a n + b n }, {a n b n }, {a n b n }, { a n bn } (kde b n 0, n N). Číselný násobek α{a n } = {αa n } a nulová posloupnost {0, 0, 0,...}.

2 1.2. Omezené a monotónní posloupností Definice 1.3 Posloupnost {a n } se nazývá omezená, existuje-li číslo K > 0 takové, že platí a n K, n N. Posloupnost {b n } se nazývá shora (zdola) omezená, existuje-li číslo M (m) takové, že platí b n M, n N, (b n m, n N). Definice 1.4 Posloupnost {a n } se nazývá: klesající, platí-li: a n a n+1, n N, rostoucí, platí-li: a n a n+1, n N, monotónní, ostře klesající, platí-li: a n > a n+1, n N, ostře rostoucí, platí-li: a n < a n+1, n N, ostře monotónní Definice 1.5 Maximem (minimem, supremem, infimem) posloupnosti {a n } se rozumí maximum (minimum, supremum, infimum) množiny A = {a 1, a 2, a 3,...} a značí se max{a n } (min{a n }, sup{a n }, inf{a n }). Definice 1.6 Nechť je dána posloupnost {a n } a nechť {k 1, k 2, k 3,...} je ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel taková, že k 1 < k 2 < k 3 <.... Potom posloupnost {a kn } se nazývá posloupnost vybraná z posloupnosti {a n } nebo také podposloupnost posloupnosti {a n }. Věta 1.7 Z každé posloupnosti v R lze vybrat monotónní podposloupnost. (tj. buď rostoucí nebo klesající)

3 1.3. Asymptotické chování posloupností Definice 1.8 (konvergence & divergence) A) Posloupnost {a n } + n=1 je konvergentní v R, má-li tuto vlastnost: a R, ε > 0, n 0 N, n N : n > n 0 = a n a < ε. Číslo a se nazývá ita posloupnosti {a n }. Píšeme n = a; stručně: a n a, a říkáme, že posloupnost {a n } konverguje k číslu a. Čteme: existuje číslo a R takové, že pro každé ε > 0 existuje index n 0 = n 0 (ε) takový, že pro všechna n > n 0 (tj. pro skoro všechna n ) platí nerovnost a n a < ε (tj. a ε < a n < a+ε). B) Posloupnost se nazývá divergentní, jestliže není konvergentní. Speciálně: Posloupnost {a n } diverguje k + (resp. k ), jestliže: K R n 0 N n N : n > n 0 = a n > K Označujeme (resp. a n < K). n = + (resp. ), nebo a n + (resp. ). ROZMYSLET DOMA: Uveďte příklad posloupnosti takové, že: a R, ε > 0, n 0 N, n N : n > n 0 a n a < ε a R, ε > 0, n 0 N, n N : n > n 0 a n a < ε a R, ε > 0, n 0 N, n N : n > n 0 a n a < ε a R, ε > 0, n 0 N, n N : n > n 0 a n a < ε

4 1.4. Vlastnosti konvergentních posloupností Věta 1.9 (jednoznačnost ity) Každá konvergentní posloupnost má právě jednu itu. (Každá posloupnost má nejvýše jednu itu; tj. jednu nebo žádnou.) Věta 1.10 (konvergence a omezenost) a) Každá konvergentní posloupnost je omezená. b) Z každé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. (tzv. Bolzano-Weierstrassova věta) Lemma 1.11 (o nerovnosti it I) Nechť {a n }, {b n } jsou konvergentní posloupnosti a nechť pro skoro všechna n je a n b n. Potom n b n. (!!! Pozor: Z nerovnosti a n < b n nevyplývá a n < Věta 1.12 (věta o sevření, resp. věta o dvou policajtech ) Mějme posloupnosti {a n }, {b n }, {c n } a předpokládejme: 1. a n b n c n pro skoro všechna n, 2. {a n }, {c n } konvergují ke stejné itě a Potom sevřená posloupnost {b n } také konverguje a platí: b n = n = c n = a. b n!!!) Lemma 1.13 (o nerovnosti it II) Nechť {a n }, {b n } jsou konvergentní posloupnosti a nechť n > Potom a n > b n, pro s.v. n. b n.

5 Věta 1.14 (algebra it) Nechť reálné posloupnosti {a n }, {b n } jsou konvergentní. Označme a = n, b = b n. Potom i posloupnosti {a n + b n }, {a n b n },{a n b n },{ a n bn }, b n 0, n N, jsou konvergentní a platí: 1. αa n = αa, α R, 3. nb n = ab, 2. (a a n n ± b n ) = a ± b, 4. = a b n b, b 0. log a n n n k a n n! n n, k = 2, 3, 4,..., a > Kritéria konvergence Definice 1.5 Posloupnost {a n } (a n R) se nazývá cauchyovská v R (fundamentální v R), jestliže: ε > 0, n 0 N, n, m N : n > n 0, m > n 0 a n a m < ε. Lemma 1.16 Je-li posloupnost {a n } cauchyovská v R, potom je omezená. Věta 1.17 (Bolzanovo-Cauchyovo kritérium konvergence) Posloupnost {a n } (a n R) je konvergentní v R právě tehdy, když je cauchyovská v R. Věta 1.18 (konvergence monotónní posloupnosti) Je-li posloupnost {a n } omezená a monotónní, potom je konvergentní a konverguje k číslu: n = sup{a n }, pro rostoucí posloupnost, inf{a n }, pro klesající posloupnost. Důsledek Monotónní posloupnost je konvergentní, právě tehdy, když je omezená.

6 Definice Eulerovo číslo e := n. Poznámka Ke každé omezené posloupnosti {a n } je možné sestrojit dvě omezené a monotónní posloupnosti (tj. konvergentní) {α n }, {β n } dané předpisem α n = inf{a n, a n+1,...}, β n = sup{a n, a n+1,...}. Definice 1.19 Limity posloupnosti {α n } (resp. {β n }) nazýváme dolní (resp. horní) itou posloupnosti {a n } a píšeme: n = a n = inf n = a, tzv. dolní ita (es inferior) n = a n = sup n = a, tzv. horní ita (es superior) Věta 1.20 Omezená posloupnost {a n } konverguje k číslu a právě tehdy, když horní ita je rovna dolní itě, tj. když a = a = a.

7 1.6. Vlastnosti divergentních posloupností Věta 1.21 (algebra divergentních posloupností) viz skripta MA1 Drábek/Míka věta 2.13 Neurčité výrazy Neurčitým výrazem typu nazveme posloupnost {a n b n }, pokud a n ±, b n ± ; 0 0 nazveme posloupnost nazveme posloupnost 0 0 nazveme posloupnost 1 nazveme posloupnost a n b n a n b, { n a b n, pokud a n 0, b n 0; pokud a n ±, b n ± ; } n, pokud an 0, b n 0; { } a b n n, pokud an 1, b n + ; 0 nazveme posloupnost {a n b n }, pokud a n 0, b n ± ; e = n 3 n 2 n, n n n 2 n + 2 3n 2 + 2n 4, qn, q R,,, n n 4 n 3 + n n n n + 1, 3 n + 4 n+1 3 n n,,, n n ,,