12. cvičení z PSI prosince (Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem)

Transkript

1 cvičení z PSI 0-4 prosince 06 Test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem) Z realizací náhodných veličin X a Y s normálním rozdělením) jsme z výběrů daného rozsahu obdrželi tyto realizace odhadů: X Y m = n = x = 0 y =, s x = s y = Posud te na hladině významnosti α = 005 hypotézu, že střední hodnoty náhodných veličin X a Y jsou stejné Současně zkontrolujte, zda je možné použít potřebné předpoklady Abychom mohli použít test střední hodnoty dvou normálních rozdělení se stejným neznámým rozptylem, měli bychom nejdříve otestovat, zda obě veličiny stejný rozptyl skutečně mají Test stejného rozptylu: Předpokládáme, že veličiny X a Y jsou nezávislé s normálními rozděleními po řadě Nµ, σ ) s Nµ, σ ) Jednotlivá měření pro X a Y považujeme všechna navzájem za nezávislá Budeme testovat nulovou hypotézu o rovnosti rozptylů H 0 : σ = σ proti alternativní hypotéze H : σ σ Testovací statistika je T = S X S Y a má za předpokladu σ = σ tzv Fisherovo-Snedecorovo F m, n ) - rozdělení s m a n stupni volnosti v tomto pořadí!) Za předpokladu nulové hypotézy H 0 je očekávaná hodnota statistiky T rovna a kritický obor tak podobně jako v některých předchozích příkladech) bude W :, q F m,n ) α )), q F m,n ) α ) ), Kritérium pro ZAMÍTNUTÍ je proto tvaru [ α ) t < q F m,n ) nebo q F m,n ) α ) ] < t zamítáme H 0 na dané hladině α) Realizace testovací statistiky je t = s x s y = 4 9 = 0, 444

2 a hodnoty kvantilů jsou a α ) q F m,n ) = q F 0,0) 005) = q F 0,0) 0975) = 4 q F m,n ) α ) = q F 0,0) 0975) = 77 = 094 t = , 77, hypotézu H 0, že X a Y mají stejný rozptyl, NEZAMÍTÁME Test rovnosti středních hodnot se stejným neznámým rozptylem: Předpokládáme, že veličiny X a Y jsou nezávislé s normálními rozděleními po řadě Nµ, σ ) s Nµ, σ ) Tento předpoklad je podložen předchozím testem rovnosti rozptylů, který jsme nezamítli Jednotlivá měření pro X a Y považujeme opět všechna navzájem za nezávislá Budeme testovat nulovou hypotézu o rovnosti středních hodnot H 0 : µ = µ proti alternativní hypotéze H : µ µ Testovací statistika je kde T = X Y S /m + /n, S = m m + n S X + n m + n S Y je vážený) odhad rozptylu Za předpokladu nulové hypotézy H 0, tj µ = µ, má statistika T Studentovo tm + n )-rozděleni s m + n stupni volnosti Kritérium pro ZAMÍTNUTÍ bude proto očekávatelně) tvaru t > q tm+n ) α ) zamítáme H 0 na dané hladině α) a Po dosazení máme Hodnota kvantilu je s = m )s x + n )s y m + n x y t = s /m + /n = 0 = = = 4 7 = 984 q tm+n ) α ) = q t0) 0975) = 04 t = = q tm+n ) α ), hypotézu H 0, ze X a Y mají stejnou střední hodnotu, také NEZAMÍTÁME Page

3 Párový pokus) U n = 8 praváků jsme změřili délku prostředníčku na pravé a levé ruce, hodnoty v milimetrech uvádí tabulka Levá Pravá Na hladině významnosti α = 5% posud te hypotézu, že praváci mají delší prostředníček na levé ruce, a uved te předpoklady Označme si jako veličinu X délku prostředníčku na levé ruce a jako veličinu Y délku prostředníčku na pravé ruce u téhož člověka, zde navíc praváka) Pokud na jednom subjektu provádíme měření více veličin zde X a Y ), pak už jejich vzájemné hodnoty nemůžeme považovat za nezávislé Za nezávislá ovšem samozřejmě považujeme měření dvojice veličin X, Y ) tj náhodného vektoru) u různých lidí U veličiny := X Y, která představuje rozdíly mezi veličinami můžeme přirozeně předpokládat normální rozdělení nebot jde o odchylky, které obvykle tuto vlastnost mají) Máme tedy nezávislá měření s hodnotami δ = x y,, x n y n ) a naše původní hypotéza EX) EY ) lze ekvivalentně vyjádřit jako nulová hypotéza H 0 : E ) 0 kterou otestujeme proti alternativní hypotéze H : E ) < 0 na hladině významnosti α = 5% Půjde tedy o obvyklý test střední hodnoty veličiny s normálním rozdělením) při neznámém rozptylu Použijeme tudíž statistiku a kritérium pro ZAMÍTNUTÍ bude tvaru T = S n t < q tn ) α) zamítáme H 0 na dané hladině α) Určíme si hodnoty realizace δ veličiny = X Y x y δ = x y Spočteme její výběrový průměr a rozptyl pro n = 8): δ = 7 8 = 0875, s δ = n určíme realizaci statistiky a příslušný kvantil i= ) 5 δ i δ = 56 t = δ s δ n = = 6 = 89, q tn ) α) = q tn ) α) = q t7) 095) = 895 t = = q t7) 005), nulovou hypotézu, že praváci mají delší levý prostředníček než pravý, NEZAMÍTÁME Page

4 Test nekorelovanosti dvou výběrů z normálních rozdělení) Pro realizace X Y náhodných výběrů z veličin X, Y testujte na hladině významnosti α = 5 % jejich korelovanost Testujeme hypotézu o koeficientu korelace ϱx, Y ) mezi náhodnými veličinami X a Y, H 0 : ϱx, Y ) = 0 tj náhodné veličiny X a Y jsou nekorelované) proti alternativní hypotéze H : ϱx, Y ) 0 tj náhodné veličiny X a Y jsou korelované) K testování použijeme výběrový koeficient korelace RX, Y ) a testovou statistiku T = RX, Y ) n R X, Y ), která má Studentovo rozdělení tn ), kde n je rozsah výběrů Realizaci rx, y) výběrového koeficientu korelace RX, Y ) vypočteme ze vzorce n n ) ) x i y i x i y i i= i= i= rx, y) = n n ) ) x i x i n n ) ) yi y i i= i= i= i= Za předpokladu nulové hypotézy H 0, tj ϱx, Y ) = 0, je očekávaná hodnota statistiky T rovna 0 Kritérium pro ZAMÍTNUTÍ proto podobně jako pro některé předchozí testy) bude tvaru t > q tn ) α ) zamítáme H 0 na dané hladině α) Je n = 5, x i =, i= y i = 6, i= Po dosazení hodnot dostaneme Z tabulek nalezneme kvantil rx, y) = hypotézu H 0 NEZAMÍTÁME x i = 79, i= = yi = 80, i= 4979 = t = rx, y) n 6 r x, y) = = q tn ) α ) = q t) 0975) = 8 t = = q t) 0975), x i y i = 890 i= Page 4

5 4 Markovovy řetězce - sestavení matice, klasifikace stavů) V obousměrně orientovaném cyklu délky 4 přejde v každém kroku každý stav na dva sousední a to s pravděpodobností / ve směru hodinových ručiček a s pravděpodobností / ve směru opačném Stanovte pravděpodobnosti stavů po 4 krocích, jestliže počáteční stav je v jednom pevně vybraném vrcholu Klasifikujte stavy 4 Pokud očíslujeme stavy grafu vzestupně ve směru hodinových ručiček bude odpovídající matice přechodu P = 0 / 0 / / 0 / 0 0 / 0 / / 0 / 0 Graf je symetrický z hlediska všech vrcholů, takže si bez újmy na obecnosti zvolíme jako počáteční stav zvolíme např stav Počáteční rozdělení pravděpodobnosti tak bude p0) =, 0, 0, 0) Rozdělení pravděpodobnosti pn + ) v n + tém kroku se spočítá pomocí rozdělení pravděpodobnosti pn) v n tém kroku jako pn + ) = pn) P Rozdělení pravděpodobnosti po 4 krocích je tedy p4) = p0) P 4 Jednodušší než počítat 4-tou mocninu matice je ale spočítat postupně vektory pi), protože výpočtů tak uděláme méně: p) = p0) P = 0,, 0, ) p) = p) P = 4 9, 0, 5 9, 0) p) = p) P = ) 0, 4 7, 0, 7 p4) = p) P = , 0, 8, 0) Page 5

6 Jak je vidět, dvojice protilehlých stavů se stále střídají a přitom se jejich pravděpodobnosti stále více vyrovnávají Všechny stavy jsou trvalé s periodou, což se ukáže tak, že každá uzavřená cesta má sudou délku indukcí podle délky orientované cesty) Řetězec je nerozložitelný protože všechny trvalé stavy jsou navzájem propojitelné orientovanými cestami v grafu) Poznámka: Dá se snadno ověřit, že jediné rozdělení pravděpodobnosti p takové, že p = p P tzv stacionární rozdělení), je v tomto případě právě jen p = 4, 4, 4, ) 4 Takovéto rozdělení pravděpodobnosti se tedy během kroků nemění Současně platí, že, 0,, 0) P = 0,, 0, ) 0,, 0, ) P =, 0,, 0) takže tato dvě rozdělení, 0,, 0) a 0,, 0, ) oscilují navzájem mezi sebou, což je způsobeno právě periodou rovnou Také vidíme, ze tato dvě rozdělení NEKONVERGUJÍ ke stacionárnímu rozdělení 5 Markovovy řetězce - sestavení diagramu, klasifikace stavů, uzavřené množiny) V Markovově řetězci s následující maticí přechodu P oklasifikujte všechny stavy a najděte všechny uzavřené množiny trvalých stavů P = /5 4/ / 0 / 0 / Nakreslíme si příslušný orientovaný graf přiřazený matici P: Z něj už je snadno vidět, že stav je trvalý, dokonce absorpční tudíž má periodu ), stavy a 4 jsou trvalé s periodou ) a Page 6

7 stavy a 5 jsou přechodné Všechny uzavřené množiny trvalých stavů tj množiny trvalých stavů, ze kterých nevedou ven žádné šipky) jsou, {}, {, 4}, {,, 4} Poznámka: Postupné změny rozdělení pravděpodobnosti během jednotlivých kroků si můžeme představovat také tak, že máme k dispozici dané množství kapaliny o objemu ), které se přelévá mezi jednotlivými stavy Přechodné stavy se pak vyznačují tím, že to, co z nich odteče do trvalých stavů, se už do nich nevrátí, takže celkové množství kapaliny v těchto stavech se postupně v limitě sníží až k nule Page 7