VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

Transkript

1 VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3. Primitivní funkce x c f(t) dt pro Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu I, jestliže pro kždé x I existuje F (x) pltí F (x) = f(x). Vět 7 (jednoznčnost primitivní funkce). Nechť F G jsou primitivní funkce k funkci f n otevřeném intervlu I. Pk existuje c R tk, že F (x) = G(x) + c pro kždé x I. Poznámk. nožinu všech primitivních funkcí k funkci f znčíme symbolem f(x) dx. Skutečnost, že F je primitivní funkcí k f n I zpisujeme f(x) dx c = F (x), x I. Vět 8 (o existenci primitivní funkce). Nechť f je spojitá funkce n neprázdném otevřeném intervlu I. Pk f má n I primitivní funkci. Vět 9 (linerit neurčitého integrálu). Nechť funkce f má n otevřeném intervlu I primitivní funkci F, funkce g má n I primitivní funkci G α, β R. Potom funkce αf + βg je primitivní funkcí k αf + βg n I. Primitivní funkce k některým důležitým funkcím x n dx = c xn+ n R pro n N {0}; n + n (, 0) n (0, ) pro n Z, n <, x α dx = c xα+ n (0, + ) pro α R \ { }, α + x dx = c log x n (0, + ), x dx = c log( x) n (, 0), e x dx = c e x n R, sin x dx = c cos x n R, cos x dx = c sin x n R, cos 2 x dx = c tg x n kždém z intervlů ( π 2 + kπ, π 2 + kπ), k Z,

2 sin 2 x dx = c cotg x n kždém z intervlů (kπ, (k + )π), k Z, + x 2 dx = c rctg x n R, dx = c rcsin x n (, ), x 2 dx = c rccos x n (, ). x 2 Vět 0 (o substituci). (i) Nechť F je primitivní funkce k f n (, b). Nechť je ϕ funkce definovná n (α, β) s hodnotmi v intervlu (, b), která má v kždém bodě t (α, β) vlstní derivci. Pk f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt = c F ( ϕ(t) ) n (α, β). (ii) Nechť funkce ϕ má v kždém bodě intervlu (α, β) vlstní derivci, která je buď všude kldná, nebo všude záporná, ϕ ( (α, β) ) = (, b). Nechť funkce f je definovná n intervlu (, b) pltí f ( ϕ(t) ) ϕ (t) dt c = G(t) n (α, β). Pk f(x) dx c = G ( ϕ (x) ) n (, b). Vět (integrce per prtes). Nechť I je neprázdný otevřený intervl, funkce f g jsou spojité n I, F je primitivní funkce k f n I G je primitivní funkce ke g n I. Pk pltí g(x)f (x) dx = G(x)F (x) G(x)f(x) dx n I. Integrce rcionálních funkcí Definice. Rcionální funkcí budeme rozumět podíl dvou polynomů, kde polynom ve jmenovteli není identicky roven nule. Vět ( zákldní vět lgebry ). Nechť n N, 0,..., n C, n 0. Pk rovnice má lespoň jedno řešení z C. n z n + n z n + + z + 0 = 0 Lemm 2 (o dělení polynomů). Nechť P Q jsou dv polynomy (s komplexními koeficienty), přičemž polynom Q není identicky roven nule. Pk existují jednoznčně určené polynomy R Z splňující: Polynom Z je nulový nebo má stupeň menší než stupeň Q. P (x) = R(x)Q(x) + Z(x) pro všechn x C. Pokud mjí P Q reálné koeficienty, mjí i R Z reálné koeficienty. Důsledek. Je-li P polynom λ C je jeho kořen (tj. P (λ) = 0), pk existuje polynom R, pro který pltí P (x) = (x λ)r(x) pro x C. Vět 3 (o rozkldu n kořenové činitele). Nechť P (x) = n x n + + x + 0 je polynom stupně n. Pk existují čísl x,..., x n C tková, že P (x) = n (x x ) (x x n ), x R. 2

3 Definice. Nechť P je polynom, λ C k N. Řekneme, že λ je kořen násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynom R, který splňuje R(λ) 0 P (x) = (x λ) k R(x) pro x C. (Tj. násobnost kořene λ je rovn počtu výskytů čísl λ v n-tici x, x 2,..., x n z věty??.) Vět 4 (o kořenech polynomu s reálnými koeficienty). Nechť P je polynom s reálnými koeficienty z C je kořen P násobnosti k N. Pk i komplexně sdružené číslo z je kořenem P násobnosti k. Vět 5 (o rozkldu polynomu s reálnými koeficienty). Nechť P (x) = n x n + + x + 0 je polynom stupně n s reálnými koeficienty. Pk existují reálná čísl x,..., x k, α,..., α l, β,..., β l přirozená čísl p,..., p k, q,..., q l tková, že P (x) = n (x x ) p (x x k ) p k (x 2 + α x + β ) q (x 2 + α l x + β l ) q l, žádné dv z mnohočlenů x x, x x 2,..., x x k, x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, mnohočleny x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí žádný reálný kořen. Vět 6 (o rozkldu n prciální zlomky). Nechť P, Q jsou polynomy s reálnými koeficienty tkové, že stupeň P je ostře menší než stupeň Q, Q(x) = n (x x ) p (x x k ) p k (x 2 + α x + β ) q (x 2 + α l x + β l ) q l, n, x,..., x k, α,..., α l, β,..., β l R, n 0, p,..., p k, q,..., q l N, žádné dv z mnohočlenů x x, x x 2,..., x x k, x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí společný kořen, mnohočleny x 2 + α x + β,..., x 2 + α l x + β l nemjí žádný reálný kořen. Pk existují jednoznčně určená reálná čísl,..., p,..., k,..., k p k, B, C,..., Bq, Cq,..., B, l C, l..., Bq l l, Cq l l tková, že pltí P (x) Q(x) = (x x ) + + p (x x ) p + + k (x x k ) + + k p k (x x k ) p k + + B x + C (x 2 + α x + β ) + + B q x + C q (x 2 + α x + β ) q + Bx l + C l (x 2 + α l x + β l ) + + Bq l l x + Cq l l (x 2 + α l x + β l ) q. l VIII.4. Dodtky k Riemnnovu integrálu Definice. Nechť f je spojitá funkce n (, b), < b + nechť c (, b). Nevlstním Riemnnovým integrálem od do b z funkce f rozumíme lim c α + α pokud limity existují jejich součet má smysl. f(x) dx + lim β b β c f(x) dx, Vět 7 (Newtonův vzorec). Nechť f je spojitá n intervlu (, b), < b, nechť F je primitivní funkce k f n (, b).. Integrál b f(x) dx existuje, právě když existují limity lim x + F (x), lim x b F (x) jejich rozdíl má smysl. V tomto přípdě pltí b f(x) dx = lim F (x) lim F (x). () x b x + 3

4 2. Pokud, b R f je spojitá n (omezeném!) uzvřeném intervlu, b, pk existují vlstní limity lim x + F (x), lim x b F (x) pltí (??). Důsledek 8 (linerit Riemnnov Integrálu). Nechť f, g jsou spojité n intervlu (, b), < b + mjí nevlstní Riemnnovy integrály n tomto intervlu. Nechť α, β R. Pk pltí b pokud má výrz n prvé strně smysl. b αf(x) + βg(x) dx = α VIII.5. Vícerozměrný Riemnnův integrál Definice. Řekneme, že R n je buňk, jestliže b f(x) dx + β =, b 2, b 2 n, b n, přičemž < i < b i < +, i =,..., n. Objem buňky budeme znčit symbolem vol definujeme jej jko vol = n (b i i ). i= g(x) dx, Definice. Nechť I =, b, < b. Řekneme, že posloupnost intervlů { x j, x j } k j= je dělením intervlu I, jestliže = x 0 < x < < x k = b. Nechť = I I 2 I n R n je buňk. Řekneme, že systém D složený z buněk je dělením buňky, jestliže D = {J J n ; J D,..., J n D n }, kde D j je dělením intervlu I j, j =,..., n. Definice. Nechť je buňk D, D 0 jsou dvě dělení buňky. Řekneme, že dělení D je zjemněním dělení D 0, jestliže kždá buňk dělení D je obsžen v nějké buňce dělení D 0. Normou dělení D rozumíme číslo ν(d) = mx { sup ρ(x, y)}. D D x,y D Integrce funkce přes buňku Definice. Nechť R n je buňk f je funkce definovná lespoň n, kde je omezená. Oznčme S(f, D) = sup f vol D, D D D S(f, D) = inf f vol D, D D D f = inf{s(f, D); D je dělení }, f = sup{s(f, D); D je dělení }. Definice. V přípdě, že f = f, definujeme zobecněný Riemnnův integrál funkce f přes buňku jko f = f. Někdy používáme tké symbol f(x) dx, kde je vyznčen proměnná funkce f. Poznámk. Pokud D, D 2 jsou dvě dělení buňky D je dělení buňky zjemňující D i D 2, pk Odtud lze sndno odvodit f f. S(f, D ) S(f, D) S(f, D) S(f, D 2 ). 4

5 Lemm 9 (ekvivlentní definice vícerozměrného integrálu). Nechť f je funkce omezená n buňce R n. () f = I R právě tehdy, když ke kždému ε R, ε > 0 existuje dělení D buňky tkové, že I ε < S(f, D) S(f, D) < I + ε. (b) Funkce f má n buňce zobecněný Riemnnův integrál právě tehdy, když ke kždému ε R, ε > 0 existuje dělení D buňky tkové, že S(f, D) S(f, D) < ε. Tvrzení 20 (integrál přes rozdělenou buňku). Nechť f je funkce omezená n buňce R n nechť D je dělení buňky. Jestliže pro kždé D D existuje D f, pk existuje i f pltí f = f. D D Důsledek 2. Nechť, B R n jsou buňky, B. Nechť f je funkce definovná lespoň n B, pro kterou pltí f(x) = 0 pokud x B \. Potom jestliže existuje f, pk existuje i f ob integrály B se rovnjí. Integrce funkce přes množinu Definice. Nechť R n f je funkce n proměnných, která je definován lespoň n je n omezená. Definujme funkci f : R n R tkto: { f(x) x, f(x) = 0 x R n \. D Zobecněný Riemnnův integrál f definujeme jko f = lim r + r,r n f, pokud uvedená limit existuje. (Především tedy musí existovt r,r n f pro všechn r (0, + ).) Pokud integrál funkce f přes množinu R n existuje přitom je konečný, pk říkáme, že f konverguje. Pokud je roven + nebo, pk říkáme, že diverguje. áme pk následující schém: reálnému číslu, tj. konverguje; existuje je roven +, tj. diverguje; f, tj. diverguje; neexistuje. Vět 22 (linerit vícerozměrného integrálu). Nechť R n, α R \ {0} f g jsou funkce n proměnných tkové, že integrály f g existují. Potom (i) (f + g) existuje pltí (f + g) = pokud má výrz n prvé strně rovnosti smysl. f + g, (ii) αf existuje pltí αf = α f. 5

6 Vět 23 (integrál přes sjednocení množin). Nechť, N R n, N = f je funkce n proměnných tková, že integrály f N f existují. Potom existuje i integrál N f pltí N pokud má výrz n prvé strně rovnosti smysl. f = f + Vět 24 (integrál uspořádání). Nechť R n f g jsou funkce n proměnných tkové, že integrály f g existují. (i) Je-li f 0, potom i f 0. (ii) Je-li f g, potom i f g. N f, (iii) f existuje pltí f f. Vět 25 (o konvergenci existenci integrálu). (i) Nechť K R n je omezená konvexní množin f je omezená funkce n K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K) vyjm nejvýše konečně mnoh bodů z K. Potom K f konverguje. (ii) Nechť K R n je konvexní množin f je omezená nezáporná funkce n K, která je spojitá ve všech bodech K (vzhledem ke K) vyjm nejvýše konečně mnoh bodů z K. Potom K f existuje. Vět 26 (Fubiniov vět). (i) Nechť R m 2 R n. Předpokládejme dále, že množiny 2 jsou buňky. Nechť f je funkce definovná lespoň n 2 nechť existuje 2 f. Pokud pro kždé x existuje F (x) = 2 f(x, y) dy R, potom pltí f = 2 F (x) dx. (ii) Nechť f : R m R n R je nezáporná funkce nechť existuje R m R n f. Pokud pro kždé x R m existuje F (x) = R n f(x, y) dy R pokud existuje R m F (x) dx, pk pltí f = R m R n R m F (x) dx. 6