Úvod do teorie měření. (stručný výběr otázek a témat)

Transkript

1 Úvod do teorie měření (stručný výběr otázek a témat)

2 Obsah 1. LOGICKÉ SCHÉMA EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE 2. METROLOGIE 3. ZÁKLADNÍ POJMY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI 4. ZÁKLADY TEORIE CHYB 5. NEJISTOTY MĚŘENÍ 6. METODY PRO ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ 7. LITERATURA

3 Trest smrti hrozil tomu, kdo zapomněl nebo zanedbal svoji povinnost zkalibrovat své měřidlo délky při každém úplňku. Takové bylo riziko královských architektů odpovědných za budování chrámů a pyramid pro faraony ve starém Egyptě tři tisíce let před naším letopočtem. První královský loket byl definován jako délka předloktí od lokte ke špičce nataženého prostředníčku vládnoucího faraona, plus šířka jeho ruky. Prvotní měření bylo přeneseno na černou žulu a do ní vytesáno. Pracovníkům na staveništích byly předány žulové nebo dřevěné kopie a architekti byli odpovědni za jejich udržování.

4 Měření Náklady na měření a vážení v dnešní Evropě představují plných 6 % celkového hrubého národního produktu. Metrologie se stala přirozenou součástí našeho každodenního života. Dřevěná prkna i kávu nakupujeme podle velikosti a váhy; měříme odběr vody, elektřiny a tepla, a důsledky toho pociťujeme v našich peněženkách. Váhy v koupelně nám kazí náladu, stejně jako policie kontrolující rychlost jízdy a případné finanční postihy. Množství aktivních látek v lécích, měření krevního vzorku i účinek chirurgova laseru musí být zcela přesné, nemá-li být ohroženo zdraví pacienta.

5 Úvod Kvantitativně formulovaný fyzikální zákon není nic jiného, než matematicky model fyzikálního děje. Model vytváří člověk fyzik, děj probíhá v přírodě nezávisle na pozorovateli. Jde o to, aby pozorováni byla provedena dostatečně přesně a jejich statistické zpracováni kvalitně, aby formulace zákona co nejpřesněji popisovala průběh děje. Při formulaci zákona hraje důležitou roli i syntéza dílčích poznatků vhodné zobecněni. Při jiných podmínkách nebo při přesnějšim měřeni můžeme zjistit méně či více významné odchylky od doposud užívaného zákona. Přikladem může být druhý Newtonův pohybový zákon (1687) a jeho korekce Einsteinovou teorii relativity (1905).

6 Příklad časté chyby měření Při vážení na vzduchu vzniká soustavná chyba měření v důsledku různého vztlaku, má-li předmět jinou hustotu než závaží. Tuto chybu lze korigovat!!

7 1. LOGICKÉ SCHÉMA EXPERIMENTÁLNÍ PRÁCE Hlavní zásady experimentální práce. Schéma experimentální práce. Protokol o měření. Podmínky měření.

8 Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Experimentátor si musí nejprve prostudovat potřebnou teorii zkoumaného jevu, vybrat vhodnou metodu, opatřit si měřici přístroje s potřebnými rozsahy a předpokládanou přesnosti (případně si je ocejchovat), dále vhodné vzorky k měřeni a další pomůcky.

9 Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Před vlastnim měřením je také nutné uvážit, jaké vnější faktory mohou ovlivnit měřeni (tomu je nutné mj. podřídit např. umístění přístrojů), je potřebné znát i místní laboratorní podmínky teplotu, tlak, vlhkost, případně rušivé magnetické pole, tepelné, světelné nebo radioaktivní pozadí.

10 Úspěch měřeni podmiňuje jeho dobrá příprava. Je rovněž vhodné včas si uvědomit, jakými soustavnými chybami bude měřeni zatíženo (ať již z důvodů použitých přístrojů nebo metody). Nakonec je také nutné věnovat patřičnou pozornost přípravě měřených vzorků a manipulaci s nimi.

11 Vlastní měření Na dobrou přípravu navazuje druha etapa vlastni měřeni. Jeho konkrétní průběh závisí na tom, jakou veličinu měříme a jakou použijeme metodu měřeni.

12 Vlastní měření Všeobecná doporučeni: před detailním měřením je vhodné proběhnout zhruba celé měřeni, abychom např. věděli, v jakých rozsazích hodnot veličin budeme měřit, zda nevznikají zřetelné extrémy (rezonanční maxima nebo stavy nulového vyváženi). Také si připravíme vhodné tabulky pro zápis hodnot naměřených veličin.

13 Vlastní měřeni Vlastni měřeni je proces, ve kterém se slučuje teoretická příprava s dobrou manuální zručnosti a zkušeností. K měřeni musíme přistupovat s rozvahou, klidem a vyvarovat se zmatkovaní. Jinak lze očekávat nejen neúspěch při experimentu, ale i např. zničeni přístrojů nebo újmu na zdraví.

14 Vlastní měřeni Schopnost dobrého experimentováni získáme jen vhodnou a trpělivou laboratorní prací.

15 Zpracování dat měřeni Tato etapa se bohužel velmi často podceňuje, což znehodnocuje celý proces fyzikálního měření.

16 Zpracování dat měřeni Je mylné představovat si, že experiment sestavený podle všech zásad s vhodnými měřícími přístroji bude dávat pouze přesný a správný výsledek. Jelikož v případě (náhodných) chyb měřeni jde o náhodné veličiny, bude vhodné před vlastními postupy zpracováni dat měřeni stručně uvést základní poznatky o teorii náhodných chyb, jak je zpracovala matematická statistika.

17 Zpracovaní dat měřeni Pochopení základních pojmů matematické teorie náhodných chyb je nezbytné pro úspěšné uskutečňování praktických postupů zpracováni dat fyzikálních měření.

18 2. METROLOGIE Pojem metrologie, rozdělení metrologie. Základní metrologické pojmy. Metrologické činnosti. Metrologické pojmy vztahující se k měření. Pravá hodnota veličiny. Pojem chyba a nejistota měření. Klasifikace chyb a nejistot měření.

19 Návaznost Návaznost je vlastnost výsledku měření nebo hodnoty etalonu, kterou může být určen vztah k uvedeným referencím zpravidla státním nebo mezinárodním etalonům, přes nepřerušený řetězec porovnání (řetězec návaznosti), jejichž nejistoty jsou uvedeny. Pro průmysl v Evropě se zajišťuje návaznost na nejvyšší mezinárodní úrovni především využíváním akreditovaných evropských laboratoří a národních metrologických institutů..

20 Metrologický systém

21 Kalibrace Základním prostředkem při zajišťování návaznosti měření je kalibrace měřidel. Tato kalibrace zahrnuje určení metrologických charakteristik přístroje. To se provádí pomocí přímého srovnání s etalony. Vystavuje se kalibrační certifikát a (ve většině případů) připevňuje se štítek na kalibrované měřidlo. Na základě těchto informací může uživatel určit, zda je přístroj vhodný pro danou aplikaci.

22 Kalibrace Existují tři důvody, proč je třeba přístroje kalibrovat: 1. Zajistit, aby údaje uváděné přístrojem byly konzistentní s jiným měřením. 2. Stanovit správnost údajů uváděných přístrojem. 3. Zjistit spolehlivost přístroje, tj. zda je možno se na něj spolehnout.

23 Kalibrace Kalibrací přístroje lze dosáhnout následujících skutečností: Výsledek kalibrace umožní buď přičlenění hodnot měřených veličin k indikovaným hodnotám, nebo stanovení korekcí vůči indikovaným hodnotám. Kalibrace může rovněž určit další metrologické vlastnosti, jako je účinek ovlivňujících veličin. Výsledek kalibrace lze zaznamenat v dokumentu, který se někdy nazývá kalibrační certifikát nebo zpráva o kalibraci.

24 Etalony Etalon je ztělesněná míra, měřicí přístroj, měřidlo, referenční materiál či měřicí systém určený k definování, realizaci, uchování či reprodukci jednotky nebo jedné či více hodnot určité veličiny mající sloužit jako reference. Příklad: Metr je definován jako délka dráhy, kterou urazí světlo v časovém intervalu 1/ sekundy.

25 Některé státní etalony ČR a příslušné laboratoře Státní etalon jednotky hmotnosti 1 kg

26 Základní jednotky SI Základní jednotky jsou vhodně zvolené jednotky základních veličin. Každá základní veličina má pouze jedinou hlavní jednotku, která slouží současně jako základní jednotka. V mezinárodní soustavě jednotek SI je sedm základních jednotek v dohodnutém pořadí

27 Základní jednotky SI Veličina Jednotka Značka délka hmotnost čas elektrický proud termodynamická teplota látkové množství svítivost metr kilogram sekunda ampér kelvin mol kandela m kg s A K mol cd

28 Základní jednotky SI metr délka dráhy, kterou proběhne světlo ve vakuu za 1/ sekundy kilogram hmotnost mezinárodního prototypu kilogramu uloženého v Mezinárodním úřadě pro váhy a míry v Sévres u Paříže sekunda doba rovnající se periodám záření, které odpovídá přechodu mezi dvěma hladinami velmi jemné struktury základního stavu atomu cesia 133 ampér stálý elektrický proud, který při průchodu dvěma přímými rovnoběžnými nekonečně dlouhými vodiči zanedbatelného kruhového průřezu umístěnými ve vakuu ve vzájemné vzdálenosti 1 metr vyvolá mezi nimi stálou sílu newtonu na 1 metr délky vodiče kelvin kelvin je 1/273,16 termodynamické teploty trojného bodu vody mol mol je látkové množství soustavy, která obsahuje právě tolik elementárních jedinců (entit), kolik je atomů v 0,012 kilogramu nuklidu uhlíku 612C (přesně) kandela kandela je svítivost zdroje, který v daném směru vysílá monochromatické záření o kmitočtu hertzů a jehož zářivost v tomto směru je 1/683 wattu na steradián

29 Doplňkové jednotky Doplňkové jednotky jsou to takové jednotky, o nichž Generální konference pro váhy a míry dosud nerozhodla, zda mají být zařazeny mezi základní jednotky nebo jednotky odvozené.

30 Doplňkové jednotky Veličina Jednotka Značka rovinný úhel prostorový úhel radián rad steradián sr radián rovinný úhel sevřený dvěma polopřímkami, které na kružnici opsané z jejich počátečního bodu vytínají oblouk o délce rovné jejímu poloměru. steradián prostorový úhel s vrcholem ve středu kulové plochy, který na této ploše vytíná část s obsahem rovným druhé mocnině poloměru této kulové plochy.

31 Odvozené jednotky Odvozené jednotky vznikají pomocí fyzikálních definičních vztahů z jednotek základních nebo doplňkových. K vytváření dalších odvozených jednotek mohou být použity odvozené jednotky, které mají samostatný název. Odvozené jednotky jsou koherentní vzhledem k jednotkám základním, resp. doplňkovým. Některé odvozené jednotky jsou uvedeny v tabulce.

32 Odvozené jednotky Jednotka m² m³ m-1 hertz m/s rad/s m/s² rad/s² kg/m³ m³/kg newton pascal pascalsekunda m²/s joule watt N m N/m coulomb C/m³ volt V/m ohm siemens farad C/m² farad na metr henry H/m weber tesla A/m J/K J/mol W/m² W/sr lumen lux cd/m² becquerel C/kg gray Gy/s Značka Hz N Pa J W C V Ω S F H Wb T lm lx Bq Gy Veličina Fyzikální rozměr plošný obsah objem vlnočet frekvence rychlost úhlová rychlost zrychlení úhlové zrychlení hustota měrný objem síla tlak, napětí dynamická viskozita kinematická viskozita energie, práce, teplo výkon moment síly povrchové napětí elektrický náboj hustota elektrického náboje elektrické napětí, potenciál intenzita elektrického pole elektrický odpor elektrická vodivost elektrická kapacita elektrická indukce permitivita indukčnost permeabilita magnetický indukční tok magnetická indukce intenzita magnetického pole tepelná kapacita molární vnitřní energie hustota tepelného toku zářivost světelný tok osvětlení jas aktivita ozáření (expozice) dávka dávková rychlost m² m³ m-1 s-1 m s-1 rad s-1 m s-2 rad s-2 kg m-3 m³ kg-1 m kg s-2 m-1 kg s-2 m-1 kg s-1 m² s-1 m² kg s-2 m² kg s-3 m² kg s-2 kg s-2 s A m-3 s A m² kg s-3 A-1 m kg s-3 A-1 m² kg s-3 A-2 m-2 kg-1 s³ A² m-2 kg-1 s4 A² m-2 s A m-3 kg-1 s4 A² m² kg s-2 A-2 m kg s-2 A-2 m² kg s-2 A-1 kg s-2 A-1 m-1 A m² kg s-2 K-1 m² kg s-2 mol-1 kg s-3 m² kg s-3 sr-1 cd sr m-2 cd sr m-2 cd s-1 kg-1 s A m² s-2 m² s-3

33 Násobné a dílčí jednotky Předpona Název Značka Původ exa E řečtina (exa = šest) peta tera giga mega kilo mili mikro nano piko P T G M k m µ n p řečtina (pente = pět) řečtina (teras = nebeské znamení) řečtina (gigas = obr) řečtina (megas = veliký) řečtina (chiliolo = tisíc) latina (mille = tisíc) řečtina (mikros = malý) latina (nanus = trpaslík) italština (piccolo = maličký) femto f atto a Znamená násobek ,001 0, , , , dánština (femten = patnáct) dánština (atten = osmnáct) ,

34 Násobné a dílčí jednotky Kromě těchto předpon je možno užívat i předpon odstupňovaných po jednom dekadickém řádu. Užívání těchto předpon je dovoleno jen ve zvláštních případech, tj. např. hektolitr (hl) nebo centimetr (cm), kterých se běžně užívalo před zavedením nové normy. Všeobecně se dává přednost užívání předpon odstupňovaných podle třetí mocniny deseti. Předpona Název hekto deka deci centi Značka h da d c Původ řečtina (hekaton = sto) řečtina (dekas = deset) latina (decem = deset) latina (centum = sto) Znamená násobek ,1 0,

35 Násobné a dílčí jednotky Zásady pro správné používání předpon: 1. Předpony se zásadně týkají mocnin deseti (a nikoli například mocnin dvou) Příklad: Jeden kilobit představuje 1000 bitů a nikoli 1024 bitů 2. Předpony musí být psány bez mezery před značku dané jednotky. Příklad: Centimetr se píše jako cm a nikoli c m 3. Nelze používat kombinaci předpon. Příklad: 10-6 kg musí být psáno jako 1 mg a nikoli 1µkg 4. Předponu nelze psán samostatně. Příklad: 109/m3 nelze psát jako G/m3

36 Vedlejší jednotky Vedlejší jednotky nepatří do soustavy SI, ale norma povoluje jejich používání. Tyto jednotky nejsou koherentní vůči základním nebo doplňkovým jednotkám SI. Jejich užívání v běžném praktickém životě je ale tradiční a jejich hodnoty jsou ve srovnání s odpovídajícími jednotkami SI pro praxi vhodnější. Bylo tedy nutné (a vhodné) povolit jejich užívání. K vedlejším jednotkám času a rovinného úhlu se nesmějí přidávat předpony. Předpony nelze také používat u astronomické jednotky, světelného roku, dioptrie a atomové hmotnostní jednotky. Lze používat také jednotek kombinovaných z jednotek SI a jednotek vedlejších nebo i kombinované z vedlejších jednotek, např. km h-1 nebo l min-1 apod. Bez časového omezení lze používat poměrových a logaritmických jednotek (např. číslo 1, procento, bel, decibel, oktáva) s výjimkou jednotky neper.

37 Vedlejší jednotky Veličina délka hmotnost čas teplota rovinný úhel plošný obsah objem tlak energie optická mohutnost zdánlivý výkon jalový výkon Jednotka Značka Vztah k jednotkám SI astronomická jednotka parsek světelný rok UA (AU) pc ly 1 UA = 1, m 1 pc = 3, m 1 ly = 9, m atomová hmotnostní jednotka tuna minuta hodina den Celsiův stupeň úhlový stupeň úhlová minuta úhlová vteřina grad (gon) hektar litr bar elektronvolt u t min h d C ' " g (gon) ha l b ev 1 u = 1, m 1 t = 1000 kg 1 min = 60 s 1 h = 3600 s 1 d = s 1 C = 1 K 1 = (π/180) rad 1 ' = (π/10800) rad 1 " = (π/648000) rad 1 g = (π/200) rad 1 ha = 104 m² 1 l = 10-3 m³ 1 b = 105 Pa 1 ev = 1, J dioptrie voltampér var Dp, D VA var 1 Dp = 1 m-1

38 Skutečná hodnota veličiny je hodnota, kterou měřená veličina nabývá za podmínek existujících v okamžiku, kdy je měřena. Skutečná hodnota je hodnota ideální, protože v reálné světě nemůže být přesně zjištěna. Rozdíl hodnoty x zjištěné měřením fyzikální veličiny a její skutečné hodnoty x0 se nazývá chyba měření e Takto definovaná chyba měření se nazývá také absolutní chyba, zatímco poměr absolutní chyby a skutečné hodnoty se nazývá relativní chyba

39 Zápis veličiny Každá veličina se vyjadřuje součinem číselné hodnoty její velikosti a její jednotky: A= {A}.[A], kde A je značka veličiny a {A} značka její číselné hodnoty vyjádřené v jednotce [A]. Jednotka fyzikální veličiny je zvolená veličina specifikovaná jako referenční veličina.

40 Jak na chyby Existence náhodných chyb vyvolává potřebu řešení dvou problému: - jakým způsobem určit ze souboru vzájemně odlišných naměřených hodnot výsledek měření, který se nejvíce blíží správné hodnotě měřené veličiny - jakým způsobem charakterizovat odchylku výsledku měření od správné hodnoty, tj. jak určit velikost náhodné chyby (velikost nejistoty typu kapitola o nejistotách) zjištěného výsledku opakovaných měření.

41 3. ZÁKLADNÍ POJMY POČTU PRAVDĚPODOBNOSTI Náhodná veličina a její charakteristiky. Rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny. Základní statistický soubor, výběr ze základního statistického souboru. Odhady parametrů základního statistického souboru, konfidenční interval.

42 Základní statistické pojmy Údaje o hodnotě spojitě proměnné veličiny se získávají měřením (např. měřením teploty, hustoty apod.), údaje o hodnotě nespojité (diskrétní) veličiny se získávají čítáním (např. určením počtu částic emitovaných zdrojem ionizujícího záření). Soubory takto zjištěných náhodných kvantitativních údaju se nazývají statistické soubory. Náhodnou veličinu označujeme velkým písmenem (např. X, Y..), jednotlivé hodnoty ze statistického souboru malými písmeny ( např. xi, yj ), celkový počet hodnot ve statistickém souboru symbolem n. Počet případů, v nichž se určitá hodnota xi vyskytne ve statistickém souboru se nazývá absolutní četnost ni, podíl ni / n je relativní četnost fi.

43 Funkce náhodných veličin O chování náhodných veličin lze uvádět pouze pravděpodobnostní výroky. To znamená, že např. četnost výskytu určité hodnoty náhodné veličiny v daném statistickém souboru nemůžeme stanovit s jistotou, ale pouze s určitou pravděpodobností.

44 Funkce náhodných veličin Možnosti výskytu určitých hodnot ve statistickém souboru, tj. přirazení pravděpodobností k hodnotám náhodné veličiny, proto popisujeme pomocí rozdělení pravděpodobnosti. Toto rozdělení lze pro spojité i diskrétní veličiny jednoduše popsat pomocí distribuční funkce F(x), která je pro náhodnou veličinu X definována tak, že v bode x0 je F(x0) rovna pravděpodobnosti, že náhodná veličina X nabude hodnoty menší nebo rovné x0. Je tedy F (x0 ) = P(x x0 ). Je zřejmé, že distribuční funkce je funkce neklesající a platí F ( x) = 0 F ( x) = 1 pro ní xlim a lim. x

45 Funkce náhodných veličin Pro spojitě proměnné veličiny se chování náhodné veličiny nejčastěji popisuje pomocí funkce nazývané hustota pravdepodobnosti f(x). Ta je definována jako derivace distribuční funkce F(x) podle x (pokud tato derivace existuje). Platí f ( x) = df ( x) = F ' ( x) dx

46 Příklad - zadání Uvažujme náhodný pokus realizovaný pomocí zařízení podobného ruletě. Tento pokus spočívá v mnohokrát opakovaném roztočení kruhu, v jeho otáčení vlivem setrvačnosti a konečně v jeho samovolném zastavení působením pasivních odporu. Kruh má na svém obvodu značky dělící obvod v intervalu 0 až 2π, mimo kruh je pevná značka určující, na kterém místě se kruh zastavil. Protože předpokládáme, že každý úhel při zastavení je stejně možný (jako by tomu melo být např. u rulety), představují naměřené hodnoty tohoto úhlu spojitou náhodnou veličinu proměnnou v intervalu 0, 2π.

47 Příklad - řešení Distribuční funkce této náhodné veličiny je pak x pro x (0;2π > 2π F ( x) = 0 pro x 0 F ( x) = F ( x) = 1 pro x 2π Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny pak je x d df ( x) 2 π = 1 pro x (0;2π > f ( x) = = dx dx 2π f ( x) = 0 pro x 0 a x > 2π

48 Příklad - řešení

49 Příklad Uvažujme náhodný pokus spočívající ve sledování počtu bodu při hodech vrhací kostkou. Množina možných hodnot je 1, 2, 3, 4, 5, 6 a proto počet bodů představuje nespojitou (diskrétní) náhodnou veličinu. Předpokládáme opět ideální vrhací kostku, tj. všechny hodnoty 1 až 6 jsou stejně pravděpodobné.

50 Příklad - řešení Obdobou hustoty pravděpodobnosti je v případě diskrétních veličin pravděpodobnostní funkce p(x). Je to pravděpodobnost, že náhodná veličina X nabude hodnoty xi a proto ji píšeme ve tvaru p ( xi ) = P ( X = xi ) V našem příkladu je pravděpodobnost počtu bodů p(xi) pro všechna xi stejná a rovná se 1/6. Průběh pravděpodobnostní funkce pro výsledek našeho pokusu je na následujícím obrázku.

51 Příklad - řešení

52 Charakteristiky náhodných veličin Pro posouzení statistických souboru údaju zjištěných měřením nebo čítáním mají největší důležitost informace o poloze údajů ve statistickém souboru a o jejich rozptýlení (variabilitě). V prvním případě jde o určení vhodné střední úrovně, kolem které se hodnoty náhodné veličiny soustřeďují, ve druhém případe jde o určení rozmezí, ve kterém se vyskytují a o způsob jejich rozložení uvnitř tohoto rozmezí.

53 Střední hodnota Polohu hodnot náhodné veličiny X nejlépe charakterizuje střední hodnota, kterou označujeme symbolem E(X) a která je pro spojitě proměnnou veličinu X definovaná Vztahem Symboly a, b v tomto vztahu jsou meze definičního oboru veličiny X.

54 Rozptyl Varianci náhodných veličin nejlépe charakterizuje rozptyl D2, který určujeme ze vztahu

55 Rozdělení pravděpodobnosti Náhodné procesy, jejichž výsledkem jsou statistické soubory náhodných veličin, jsou velmi rozmanité a tomu také odpovídá velký počet funkcí, které vyjadřují jejich rozdělení pravděpodobnosti. Nejčastěji se můžeme setkat v oblasti vyhodnocování fyzikálních měření se s: Rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Binomické rozdělení Poissonovo rozdělení

56 Rovnoměrné rozdělení Náhodnou veličinu X lze popsat rovnoměrným rozdělením, jestliže všechny hodnoty náhodné veličiny X v daném intervalu mají stejnou pravděpodobnost výskytu. Pro rozsah hodnot náhodné veličiny X vymezený v intervalu a x b jsou distribuční funkce F(x) a rozdělení hustoty pravděpodobnosti f(x) určeny vztahy

57 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Nejčastěji používaný model rozdělení spojité náhodné veličiny a mnoho spojitých náhodných veličin se jím alespoň přibližně řídí. Náhodné veličiny řídící se tímto rozdělením můžeme charakterizovat jako veličiny vzniklé složením vlivu, které jsou nezávislé, kterých je vetší počet a z nichž každá ovlivňuje skutečnou hodnotu náhodné veličiny jen malým příspěvkem.

58 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Náhodná veličina X nabývá hodnot x v intervalu (,+ ) s hustotou pravděpodobnosti

59 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti

60 Normální (Gaussovo) rozdělení pravděpodobnosti Okolnost, že distribuční funkce normálního rozdělení závisí na dvou parametrech je v mnoha případech pro práci s touto funkcí nepříznivá. Zejména je obtížné takovou funkci tabelovat pro různá x a různé kombinace hodnot µ a σ2. Této závislosti se lze zbavit lineární transformací, která se nazývá normování: x µ u= σ

61 Binomické rozdělení Pro diskrétní náhodné veličiny. Toto rozdělení popisuje situaci, kdy náhodný jev nastává s pravděpodobností p a kdy n krát nezávisle opakujeme náhodný pokus, při kterém muže náhodný jev nastat a zkoumáme počet x výskytu jevu v sérii techto n nezávislých pokusu. Binomická náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2,, n. Pravděpodobnostní funkce binomického rozdělení je

62 Poissonovo rozdělení Pro diskrétní náhodné veličiny. Vztahuje se k náhodné veličině, která vyjadřuje počet výskytu málo pravděpodobných (řídkých) jevů za daných podmínek (v určitém časovém intervalu, ve vymezené oblasti apod.). Poissonova náhodná veličina X nabývá hodnot 0, 1, 2, a její pravděpodobnostní funkce je

63 Základy matematické statistiky V praxi se vyskytují případy, kdy na základe malého poctu experimentálně získaných hodnot určité veličiny náhodného charakteru se mají stanovit informace o chování této veličiny. Touto problematikou se zabývá matematická statistika.

64 Základní soubor je soubor všech možných zjistitelných hodnot náhodné veličiny s daným rozdělením pravděpodobnosti. Může obsahovat konečný i nekonečný počet hodnot. V případe spojité proměnné náhodné veličiny by rozsah základního souboru mel být nekonečný. Z praktického hlediska ale stačí N tak velké, že další zvyšování N již nepřináší znatelné změny charakteristik. Realizace měření, při kterém je získán soubor naměřených hodnot odpovídající rozsahu základního souboru je často v praxi z důvodu technických, časových i ekonomických nemožná. K dispozici tedy obvykle máme soubor podstatně menší, který představuje určitý výběr ze základního souboru. Aby se charakteristiky takového souboru co nejlépe blížily charakteristikám základního souboru, je třeba aby představoval náhodný výběr.

65 Náhodný výběr Náhodný výběr ze základního souboru je skupina n hodnot náhodné veličiny vybraných nezávisle na sobe a takovým způsobem, aby všechny hodnoty základního souboru mely stejnou možnost být do tohoto výběru pojaty. Náhodným výběrem může mj. být i souhrn hodnot získaných při opakování měření téže veličiny za stejných podmínek. Počet hodnot náhodného výběru n udává rozsah náhodného výběru. Podobně jako má základní soubor své charakteristiky, můžeme analogickými veličinami charakterizovat i náhodný výběr a to například výběrovým průměrem, výběrovým rozptylem, výběrovou směrodatnou odchylkou a výběrovým rozdělením pravděpodobnosti.

66 Charakteristiky náhodného výběru

67 Charakteristiky náhodného výběru To by se mj. projevilo i tím, že charakteristiky obou souboru by byly odlišné, i když rozdíly by byly relativně malé. Totéž by platilo i pro další náhodné výběry ze stále stejného základního souboru. Lze tedy vyslovit tvrzení, že výběrové charakteristiky jsou náhodnými veličinami.

68 Charakteristiky náhodného výběru Například z náhodného výběru rozsahu n odebraného ze základního souboru náhodné veličiny X se vypočítá výběrový průměr x1. Odběrem dalšího náhodného výběru z téhož základního souboru a stejného rozsahu se stanoví výběrový průměr x2, z dalšího náhodného výběru x3 atd. Hodnoty těchto výběrových průměrů nebudou stejné a budou mít náhodný charakter. Výběrový průměr se chová jako náhodná veličina. Stejně se bude chovat výběrový rozptyl s2.

69 Charakteristiky náhodného výběru Výběrové charakteristiky jsou tedy náhodnými veličinami a lze je popsat rozděleními pravděpodobnosti, která se nazývají výběrová rozdělení. Je zřejmé, že pro práci s výběrovými soubory je nezbytná znalost toho, jaká výběrová rozdělení jsou přirazená k jednotlivým výběrovým charakteristikám.

70 Charakteristiky náhodného výběru Nejvýznamnější výběrová charakteristika je výběrový průměr. Lze dokázat, že platí tvrzení: jestliže náhodná veličina X má normální rozdělení s parametry µ(x) a σ(x), potom i hodnoty výběrového průměru budou rozděleny podle normálního rozdělení pravděpodobnosti s parametry µ = µ(x) a σ = σ(x)= σ(x) / sqrt(n)

71 Charakteristiky náhodného výběru

72 Vyhodnocení měření Vraťme se nyní k problému vyhodnocení souboru náhodných veličin získaných měřením fyzikální veličiny ovlivněné náhodnými chybami. Tyto soubory jsou obdobou statistických souboru a mezi jejich základní charakteristiky také patří poloha a rozptyl (variance).

73 Aritmetický průměr Základním ukazatelem polohy statistického souboru (x1, x2,, xn) je aritmetický průměr x, který určujeme pomocí vztahu

74 Směrodatná odchylka statistického souboru Časteji se ale rozptýlení souboru charakterizuje kladnou druhou odmocninou z rozptylu, která se nazývá směrodatná odchylka statistického souboru s. Je určená vztahem

75 Základní charakteristiky souboru

76 4. ZÁKLADY TEORIE CHYB

77 Chyby měření jsou 1. náhodné 2. systematické 3. hrubé řešíme specificky viz dále Na celkové chybě měření se podílejí jak chyby náhodné, tak chyby systematické. Proto chybu měření e často označujeme jako úplnou chybu měření.

78 Co s chybami HRUBÉ CHYBY SYSTEMATICKÉ NÁHODNÉ CHYBY CHYBY IDENTIFIKACE ODSTRANĚNÍ KOREKCE ROZBOR STATISTICKÝ POPIS Ale napřed o nich musíme něco vědět

79 Náhodné chyby Jak získat nejsprávnější odhad skutečné hodnoty měřené veličiny? Za předpokladu, že náš soubor představuje náhodný nevychýlený výběr ze základního souboru, nabízí se možnost považovat za nejsprávnější tu hodnotu, která se v souboru nejčastěji opakuje. Odpovídá ji maximum v normálním Gaussově rozdělení. Z matematického vyjádření tohoto rozdělení lze dokázat, že nejsprávnějším odhadem skutečné hodnoty je aritmetický průměr x ze všech naměřených hodnot xi, = výběrový průměr.

80 Náhodné chyby Dokázat lze i tvrzení, že čím vetší je počet měření, tím více se hodnota aritmetického průměru přiblíží ke skutečné hodnotě měřené veličiny. Velikost náhodné chyby zřejmě souvisí s tím, jak jsou jednotlivé naměřené hodnoty xi rozptýleny okolo hodnoty aritmetického průměru x. Je zřejmé, že čím přesnějším měřidlem budeme popisované měření délky provádět, tím méně budou naměřené hodnoty rozptýleny kolem hodnoty aritmetického průměru a křivka rozdělení bude štíhlejší.

81 Náhodné chyby Základem pro kvantitativní vyjádření velikosti náhodné chyby nejlepší odhad směrodatné odchylky základního souboru, který v tomto případe nazýváme směrodatná odchylka s(x) jednoho měření veličiny x, a která je daná vztahem

82 Náhodné chyby

83 Rizika Posuďme praktický význam takového kroku, Jednoduchou integrací funkce f(x) lze ukázat, že plocha pod křivkou normálního rozdělení v intervalech (µ σ,µ +σ ) představuje asi 68% z celkové plochy pod touto křivkou. Pak pro dostatečně velká n platí, že neboli že pravděpodobnost, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží v intervalu je 68 %, resp. že riziko, že správná hodnota leží mimo tento interval je 32 %.

84 Rizika Obdobné tvrzení platí pro interval okolo hodnoty aritmetického průměru který je ovšem užší, protože platí vztah

85 Rizika V řadě případů však je riziko 32% toho, že skutečná hodnota měřené veličiny leží mimo daný interval nepřijatelně velké a interval je proto nutné nějakým definovaným způsobem rozšířit. Pokud je splněn předpoklad o dostatečně velkém počtu měření n (v praxi stačí n nad 50 ), můžeme k tomu využít vlastností normálního rozdělení. Lze odvodit, že pro dvakrát rozšířený interval okolo aritmetického průměru x přibližně platí A riziko, že skutečná hodnota x měřené veličiny leží vně dvakrát rozšířeného intervalu je 5%.

86 Rizika

87 Rizika Ve velké většině případů ovšem předpoklad o dostatečně velkém počtu měření splněn není a navíc se v laboratorní a technické praxi vyžadují jiné hodnoty rizika, než poskytují uvedené příklady.

88 Náhodné chyby S.k. Řešení se našlo pomocí jiných rozdělení. Byly odvozeny koeficienty tn,α, které jsou funkcí počtu měření n a stanoveného rizika α. Pomocí koeficientu tn,α, které se nazývají Studentovy koeficienty, mužeme stanovit interval spolehlivosti (konfidenční interval):

89 Studentovy koeficienty Jestliže máme k dispozici n opakovaných měření a vypočítáme jejich aritmetický průměr x a směrodatnou odchylku aritmetického průměru s (x ), leží skutečná hodnota x s pravděpodobností P =1 α v intervalu spolehlivosti. V tabulce uvádíme Studentovy koeficienty pro v praxi nejobvyklejší případy, tj. počet měření od 3 do 20 a obvykle volená rizika 5%, resp. 1%.

90 Studentovy koeficienty

91

92 Příklad 0.026mm 0.059mm X = ( ± 0.059) mm

93 Systematické chyby Systematické chyby souvisejí obvykle s použitou metodou či měřícími přístroji nebo se samotným pozorovatelem. Říkáme, že jsou způsobeny kontrolovatelnými vlivy.

94 Systematické chyby

95 Hlavní zdroje systematických chyb a) omezená přesnost přístrojů Její příčinu je třeba hledat v nedokonalém a ne zcela přesném provedení měřicích přístrojů. Typickým příkladem muže být nedokonalost a nepřesnost stupnic. Tyto chyby by bylo možno odstranit nebo alespoň podstatně zmenšit použitím dokonalejších zařízení, ale v praxi by používání velmi přesných přístrojů bylo často nákladné a těžko realizovatelné. Proto se snažíme v některých případech dosáhnout vetší přesnosti, a tím zmenšení systematické chyby, kalibrací přístroje před měřením. Kalibrace spočívá v porovnání údajů přístroje s údaji podstatně přesnějšího měřidla a výsledkem je stanovení hodnoty korekčního faktoru či korekční křivky, pomocí kterých naměřené hodnoty opravujeme.

96 Třídy přesnosti Pro některé sériově vyráběné přístroje výrobce udává jejich největší přípustnou (maximální) chybu m(x). Tak zaručuje, že hodnota veličiny x naměřená přístrojem bude v celém jeho rozsahu mít chybu zpravidla menší, ale nanejvýš rovnou maximální chybě. Maximální chyba je pro elektrické ukazovací (ručkové, analogové) měřicí přístroje výrobcem udávána pomocí třídy přesnosti Tp. Údaj o třídě přesnosti je obvykle uveden v pravém dolním rohu pod stupnicí přístroje a to ve formě číslice umístěné nad značkou udávající, je-li přístroj určen pro střídavý nebo stejnosměrný proud. Podle platné normy je třída přesnosti číslo z rady 0,1; 0,2; 0,5; 1; 1,5; 2,5; 5. Největší přípustnou chybu naměřené hodnoty lze pak stanovit ze vztahu kde xmax je rozsah přístroje.

97 Třídy přesnosti Největší přípustná chyba je stejná, ať měříme v kterékoliv části rozsahu, zatímco relativní chyba je tím větší, čím menší je měřená hodnota vzhledem k maximální hodnotě v rozsahu. Proto se s elektrickými měřicími přístroji snažíme měřit tak, aby výchylka byla pokud možno ve třetí třetině rozsahu. Měříme-li hodnotu právě rovnou hodnotě rozsahu, je relativní chyba měřené hodnoty nejmenší, a je právě rovna třídě přesnosti vyjádřené v procentech.

98 Příklad

99 Třída přesnosti č.v. U číslicových (digitálních) elektrických měřicích přístrojů má chyba dvě složky: základní chyba je chyba přístroje při měření v referenčních podmínkách (obvykle teplota, vlhkost vzduchu apod.) stanovených výrobcem přístroje a přídavná chyba je chyba vznikající při nedodržení referenčních podmínek. V laboratorních podmínkách se obvykle uplatňuje jen základní chyba. Základní chyba číslicových voltmetrů a číslicových multimetrů se vyjadřuje dvěma způsoby a chyba se skládá ze dvou složek.

100 Třída přesnosti č.v. První způsob určení základní chyby: chybou mr(x) v procentech měřené hodnoty x a chybou m r(x) v procentech rozsahu (maximální hodnoty rozsahu). Druhý způsob určení základní chyby: chybou mr(x) v procentech měřené hodnoty x a počtem kvantizačních kroků N, což je počet jedniček (digitů) nejnižšího místa číslicového zobrazovače na zvoleném rozsahu. Předem je třeba zjistit z rozsahu a poctu míst jeho zobrazovače, jaká hodnota měřené veličiny odpovídá 1 digitu. Tento tvar vyjádření přesnosti se používá zejména v zahraniční literatuře, kde údaj přesnosti má např. tvar ±0,02% rdg.± 2 digits, kde zkratka rdg.(reading) znamená čtená (měřená) hodnota.

101 Příklad

102 Třída přesnosti č.v. Jestliže výrobce neudává informace o přesnosti měřidla, musíme sami chybu měřidla odhadnout. Obvykle chybu mx odhadujeme tak, že ji položíme rovnu části nejmenšího dílku na stupnici přístroje, kterou jsme schopni ještě rozlišit. Zpravidla to bývá 1/2 nejmenšího dílku nebo celý dílek. Tento způsob určení chyby m(x) souvisí s tím, že optimální hodnota nejmenšího dílku stupnice by mela být výrobcem stanovena tak, abychom mohli na stupnici odečítat hodnoty naměřené veličiny v souladu s citlivostí a přesností daného přístroje nebo měřidla. Takto odhadnutou chybu čtení považujeme za největší přípustnou chybu m(x) a opět ji používáme k vyjádření systematické chyby a neurčitosti.

103 Hlavní zdroje systematických chyb b) použitá metoda Systematická chyba vzniká nepřesností, nedokonalostí nebo nevhodností použitého způsobu měření. Například při vážení na vzduchu vzniká systematická chyba určené hmotnosti jako důsledek nezapočtení různého vztlaku působícího na závaží a vážený předmět, jestliže mají rozdílné objemy. Tyto chyby lze odstranit nebo potlačit buď změnou metody nebo vyloučením chyby výpočtem (oprava na vztlak).

104 Hlavní zdroje systematických chyb c) osobní chyby Jednotliví pozorovatelé se obvykle dopouštějí chyb, které souvisejí s různou smyslovou koordinací a jsou pro ně charakteristické. Uplatňují se např. při měření časových intervalů, odečtu při zrcátkové metodě apod. Lze je vyloučit tím, že subjektivní měření nahradíme objektivním, např. časový interval měříme místo stopek pomocí čidla spojeného s počítačem.

105 Hlavní zdroje systematických chyb Chyby z uvedených zdrojů se skládají do výsledné systematické chyby. Způsob skládání závisí na konkrétním měření a nelze jej zcela zobecnit. Často chyba z jednoho zdroje svoji velikostí řádově převyšuje chyby z ostatních zdrojů a ty můžeme zanedbat. Pokud jsou velikosti systematických chyb z různých zdrojů řádově stejné, lze s dobrou přesností považovat za výslednou systematickou chybu jejich součet. V mnoha případech, zvláště při složitějších měřeních, nelze dostatečně určit a ohodnotit zdroje systematických chyb, které se podílejí na nepřesnosti výsledku, a nelze proto provést přesné ocenění systematických chyb. Vždy se však snažíme alespoň o řádový odhad systematické chyby.

106 Úplná chyba Výsledkem hodnocení přesnosti určované veličiny x by mělo být stanovení úplné chyby měření e(x), která, jak jsme zatím konstatovali, je složena ze systematické a náhodné chyby. Systematickou chybu veličiny jsme v označili m(x) a uvedli jsme způsoby jejího stanovení. Náhodnou chybu veličiny při opakovaném měření jsme v odstavci charakterizovali směrodatnou odchylkou aritmetického průměru s(x), nebo často krajní chybou k(x) aritmetického průměru.

107 Úplná chyba Úplnou chybu e(x) aritmetického průměru veličiny x měřené opakovaně určujeme na základe zákona hromadění chyb ze vztahu případně z méně přesného vztahu Pro úplnou chybu jedné naměřené hodnoty xi ze souboru naměřených hodnot x1, x2,..xn veličiny x platí analogický vztah

108 Úplná chyba Při přípravě, realizaci a vyhodnocení měření určité veličiny je třeba přihlédnout k hlavním zdrojům chyb a posoudit, které budou mít rozhodující význam. Ve většině laboratorních i technických měření obvykle převažuje systematická chyba nad náhodnou, vliv náhodné chyby je tudíž zanedbatelný a měření se provádí pouze jednou, nikoli opakovaně. V takovém případe je e(x) m(x).

109 Úplná chyba V případě, že měříme přesným přístrojem a systematická chyba je proto velice malá, muže být velikost náhodné chyby srovnatelná s velikostí chyby systematické a její vliv na přesnost výsledku nezanedbatelný. Podobná situace muže nastat i v případě použití málo přesného přístroje, kdy silné rušivé vlivy mohou způsobovat významné náhodné kolísání měřených hodnot. V takových případech je třeba provést opakované měření. Čím vetší počet měření provedeme, tím bude směrodatná odchylka s (x ) a tudíž i krajní chyba k (x ) menší.

110 Úplná chyba Měření opakujeme tolikrát, abychom snížili hodnotu k (x ) na několik desetin hodnoty systematické chyby m(x). Dosáhneme tak potlačení vlivu náhodné chyby. Pouze v případech, kdy hodnoty systematické a náhodné chyby veličiny jsou řádově stejné, je nutné uvažovat součet obou chyb viz vzorec pro úplnou chybu.

111 Příklad

112 Chyby nepřímo měřených veličin Zatím jsme se uvažovali taková měření, kde hodnota naměřené veličiny je přímo výsledkem měření. Nazýváme ji proto přímo měřenou veličinou. Jestliže veličinu nelze měřit přímo, ale její hodnotu určujeme ze vztahu, ve kterém vystupují dvě nebo více přímo měřených veličin, hovoříme o určení nepřímo měřené veličiny. Pro nepřímo měřenou veličinu musíme rovněž stanovit nebo odhadnout chybu.

113 Chyby nepřímo měřených veličin Tato chyba bude mít stejné vlastnosti jako chyba přímo měřené veličiny, tj. bude se skládat ze složky systematické a náhodné. Její velikost bude záviset na hodnotách chyb jednotlivých přímo měřených veličin a na tvaru funkce, která vyjadřuje závislost nepřímo měřené veličiny na veličinách měřených přímo.

114 Chyby nepřímo měřených veličin Známe-li tvar funkční závislosti y = f (x1,x2,...xm) a chyby přímo měřených veličin k(x1), k(x2),..., k(xm), lze určit úplnou chybu k(y) ze zákona hromadění chyb, který řeší skládání chyb a to buď lineárně nebo kvadraticky. Jednodušší tvar tohoto zákona, kdy se chyby skládají lineárně, má tvar

115 Chyby nepřímo měřených veličin Chyby jednotlivých přímo měřených veličin se hromadí lineárně. Vztah pro lineární hromadění chyb má opodstatnění zejména v případech převažujících systematických chyb a v případě menšího počtu přímo měřených veličin. V případech, kdy se skládají převážně náhodné chyby, je výhodné použít alternativní vztah založený na předpokladu kvadratického hromadění chyb. Má tvar Nebudeme se jím dále zabývat.

116 Příklad

117 Chyby nepřímo měřených veličin

118 Příklad

119 Chyby nepřímo měřených veličin

120 Příklad

121 Chyby nepřímo měřených veličin

122 Hrubé chyby Zvláštním případem chyby měření jsou chyby hrubé. Vznikají např. nesprávným postupem při měření, nesprávným odečtením naměřené hodnoty, náhlým působením silného vnějšího vlivu, poškozením měřidla apod. Údaj zatížený hrubou chybou ze souboru měření vždy vylučujeme!

123 Vylučování odlehlých výsledků Grubbsův test Deanův a Dixonův Q-test Vylučování dle vnitřních hradeb

124 Hrubé chyby Hrubé chyby vznikají v důsledku omylů při provádění analýzy (měření) nebo při vyhodnocení výsledku, mají objektivní i subjektivní charakter. Velká hodnota chyby může způsobit nepřesnost a nesprávnost konečného výsledku, proto je nezbytné odlehlý výsledek vyloučit ze souboru hodnot. Pro jeho vyloučení seřadíme nejprve všechny výsledky podle stoupající hodnoty x1 < x2 <... < xn. Odlehlý výsledek - nejnižší (x1) nebo nejvyšší (xn) ve vytvořené posloupnosti - testujeme dosazením do příslušných vztahů a vypočtená hodnota se porovnává s kritickou, tabelovanou hodnotou podle statistické významnosti: α = 0,05 (pravděpodobnost 95 %) nebo α = 0,01 (pravděpodobnost 99 %).

125 Grubbsův test Jako míra pro určení odlehlosti dané hodnoty slouží její vzdálenost od aritmetického průměru výběru, ale tato vzdálenost je vyjádřena relativně vzhledem k SD, udává variabilitu hodnot výběru. Testovací statistika má tvar T= x( i ) x S kde x(i) je zkoušená hodnota výběru podezřelá z odlehlosti. Veličina S je vlastně SD počítaná podle vzorce pro SD základního souboru, i když výpočet provádíme pro výběr: n S= 2 ( ) x x i i= 1 n

126 Grubbsův test Funkce (statistiky) T i S vypočteme ze všech hodnot včetně podezřelé. Vypočtená hodnota T se srovnává s kritickou hodnotou T(n,α), kterou nalezneme v tabulce v závislosti na počtu prvků výběru n a tzv. hladině významnosti α (vysvětleno v kapitole o testech). Je-li T vypočtené větší než kritická hodnota T(n,α) z tabulek, podezřelou hodnotu vyloučíme ze souboru. Pak otestujeme další hodnotu v pořadí ovšem s původním průměrem a původní hodnotou S (hodnoty určené před vyloučením). Správné charakteristiky souboru (průměr, medián, SD atd.) vypočteme po vyloučení odlehlých hodnot, tedy z hodnot zbylých po vyloučení odlehlých!

127 Kritické hodnoty Tα a Qα pro vylučování odlehlých výsledků Tabulka 2. Kritické hodnoty Tα a Qα pro vylučování odlehlých výsledků. Počet stanovení Tα n α = 0,05 α = 0,01 3 1,412 1, ,689 1, ,869 1, ,996 2,13 7 2,093 2, ,172 2, ,237 2, ,294 2, ,343 2, ,387 2, ,426 2, ,461 2, ,493 2,8 16 2,523 2, ,551 2, ,557 2, ,6 2, ,623 2,959 Qα α = 0,05 α = 0,01 0,941 0,988 0,765 0,889 0,642 0,76 0,56 0,698 0,507 0,637 0,468 0,59 0,437 0,555 0,412 0,527

128 Příklad V tabulce jsou uvedeny hodnoty měření obsahu amonného dusíku ve vodě č. měř µ g/l 14,27 13,43 14,25 14,83 14,64 14,09 15,19 12,93 13,94 11, Rozptýlení naměřených hodnot je znázorněno na obr, kde je zřejmé, že minimum je podezřelé z odlehlosti. Testujte minimum na odlehlost Grubbsovým testem. Testovaná hodnota je minimum, 1. číslo v rostoucí řadě x(1) = 11,20, hodnoty vypočtené z výběru jsou: aritm. průměr x = 13,88, S = 1,09 x(i ) x 11,20 13,88 T= S = 1,09 = 2,46 Kritická hodnota z tabulek pro 10 výsledků T(n,α)=2,294 T=2,46>2,294=Tkritické Závěr: Hodnota 11,20 je hodnota odlehlá, z výběru ji vyloučíme. Nový průměr vypočtený ze zbylých 9 hodnot po vyloučení je 14,17, SD výběru je 0,69 ( před vyloučením SD výběru = 1,14).

129 Deanův a Dixonův Q-test Tento vylučovací test je vhodný pro soubory s malými rozsahy. Počítá rozdíl v řadě pořadových statistik mezi krajním, tj. podezřelým výsledkem a výsledkem sousedním; rozdíl se pak srovnává s rozpětím: pro spodní okraj, pro horní okraj. Q= Q= x( 2) x(1) R x( n ) x( n 1) R Vypočtené hodnoty Q se porovnávají s tabelovanou kritickou hodnotou Q(n,α). Podezřelou hodnotu vyloučíme, je-li Q větší než Q(n,α) (je příliš vzdálená od další hodnoty v pořadí sledováno relativně k rozpětí souboru).

130 Deanův a Dixonův Q-test n Q kritické 0,941 0,765 0,642 0,56 0,507 0,468 0,437 0,412

131 Příklad Testujte odlehlost minimální hodnoty obsahu amonného dusíku ve vodě znovu, tentokrát Q-testem. Testovaná hodnota je minimum, 1. číslo v rostoucí řadě x(1) = 11,20; další hodnota v řadě x(2) = 12,93; maximum x(10) = 15,19. Rozpětí R = 15,19-11,20 = 3,99 Q= x( 2 ) x(1) R 12,93 11,20 = = 0, Kritická hodnota Q z tabulek pro n=10 Q(n,α)= 0,412 Q=0,43>0,412=Qkritické Závěr: Rovněž Q-test potvrzuje, že hodnota 11,20 je hodnota odlehlá, z výběru ji vyloučíme.

132 Vylučování dle vnitřních hradeb V případě, že rozdělení četností neodpovídá normálnímu rozdělení, je možné identifikovat odlehlé body na základě tzv. vnitřních hradeb. Vnitřní hradby počítáme z kvartilů (takže tato metoda vylučování patří do robustní statistiky) podle vztahů: horní vnitřní hradba, dolní vnitřní hradba. Naměřené hodnoty, které neleží v rozmezí vnitřních hradeb, jsou s vysokou pravděpodobností odlehlé (v případě normálního rozdělení s pravděpodobností 96%). Q= x( 2 ) x(1) R = 12,93 11,20 = 0,

133 Příklad Příklad. V tabulce 10 jsou stanové obsahy olova v krvi u náhodného výběru 10 vyšetřovaných lidí. Testujte pomocí vnitřních hradeb, zda mezi hodnotami (tj. krajními) není hodnota odlehlá. jsou zakresleny naměřené hodnoty (modré značky) a HVH i DVH (fialové křížky); mimo hradby leží jeden naměřený bod (červený) 76,1, což je odlehlá hodnota. číslo měření koncentrace Pb[ng/ml] 37,9 22,8 13,4 31,6 50,8 20, ,5 26, ,1 22 hodnota přilehlá zdola k HVH hodnota přilehlá shora k DVH odlehlá hodnota

134 Problematika vylučování odlehlých hodnot je poměrně složitá, neboť jako odlehlá hodnota může být registrována hodnota patřící do souboru, který však nemá obvyklé tzv. Gausovo normální rozdělení. Rozdělení je sešikmeno na některou stranu, je natažené k vyšším či nižším hodnotám a předpoklady o obvyklém, normálním rozdělení nejsou splněny. Právě extrémní hodnota, kterou identifikujeme jako odlehlou, nás vlastně na tuto skutečnost upozorňuje. V tom případě pak hodnota určená jako odlehlá do souboru patří. Některé učebnice proto doporučují vylučovat výsledky pouze v případě, že víme, že extrémní vzdálenost testovaných hodnot od ostatních je skutečně projevem hrubé chyby měření výsledků nebo jejich zpracování, že se tedy nejedná o projev sešikmení, které je vlastní daným výsledkům.

135 Výsledek měření 1. Ke každé přímo měřené veličině xi stanovte nebo alespoň odhadněte její systematickou chybu m(xi ). 2. Je-li některá veličina, označme ji x, měřena opakovaně, stanovte její aritmetický průměr x, směrodatnou odchylku s (x ), případně k (x ). Posuďte, která z chyb, náhodná nebo systematická, má rozhodující podíl na výsledné chybě veličiny x. 3. Je-li úkolem měření stanovit nepřímo měřenou veličinu y, použijte pro výpočet její chyby buď obecný vztah nebo nebo některý z konkrétních vztahů

136 Zápis výsledku Při zápisu výsledné hodnoty veličiny je třeba vždy vyjádřit výslednou hodnotu veličiny ve tvaru Symbol [X] označuje jednotku veličiny X.

137 Příklady

138 5. NEJISTOTY MĚŘENÍ

139 Nejistoty Nové požadavky přírodních věd, techniky i ekonomiky si vyžádaly i nový pohled na hodnocení přesnosti měření. Tento nový přístup se odráží i v nových dokumentech, které jsou od počátku 90. let postupně přijímány. Přesnost měření se vyjadřuje pomocí nejistoty měření. Pojem nejistoty není omezen jen na výsledek měření, ale vztahuje se i na měřidla, použité konstanty, korekce apod.

140 Literatura Následující část je převzata z vynikající presentace Ing. David MILDE, Ph.D. z Přírodovědecké fakulty Univerzity Palackého v Olomouci Další informace lze najít např. ve skriptu doc. R. Nováka, UJEP

141 6. METODY PRO ZPRACOVÁNÍ MĚŘENÍ

142 Funkční závislosti Měření omezeno pouze na určení jedné hodnoty měřené veličiny, ale při mnoha laboratorních i technických měřeních vyšetřujeme závislost jedné veličiny na jiné veličině, případně na několika jiných veličinách. Přitom musíme brát v úvahu, že obě množiny představují výsledky měření a jsou proto zatíženy chybami. Ve zcela obecném případě ani neznáme tvar funkční závislosti. Takové úlohy jsou však značně obtížné a my se v dalším omezíme na případy, kdy je tvar funkce f známý a výsledkem naší analýzy má být stanovení nejpravděpodobnějších hodnot konstanty nebo konstant, které v ní vystupují. Tomuto postupu se říká optimální vyrovnání naměřených hodnot funkční závislosti a tuto problematiku řeší regresní analýza.

143 Metoda nejmenších čtverců Metoda nejmenších čtverců umožňuje proložit naměřena data určitou funkci. Druh funkce, kterou budeme data prokládat, je však třeba znát předem. Proložená funkce je však vždy platná jen na intervalu, pro který byla počítána. Při měřeni je nutné neustále porovnávat měřena data s předpokladem a mít alespoň základní představu o jejich fyzikální podstatě.

144 Metoda nejmenších čtverců Je založena na splnění požadavku, aby součet čtverců odchylek naměřených hodnot yi pro jednotlivá xi od vyrovnaných hodnot a xi, byl minimální. Parametr a představuje neznámou hodnotu, kterou určujeme z požadavku minimalizace rozdílu mezi naměřenými hodnotami a hodnotami vyrovnanými. Musí tedy platit Řešení dnes pomocí počítače např. MS Excel,

145 Příklad

146 Hodnocení kvality modelu regrese

147 Příklad Pozor na hrubé chyby??? Mějme např. následující tabulku statistických dat: 3,5 3 2,5 Datům odpovídá následující rovinný graf: Na první pohled je zřejmé: se zvětšující se hodnou X se zvětšuje i hodnota Y přibližně polovičním tempem. Jistá závislost je tedy patrná. V praxi se v souvislosti s dvourozměrnými statistickými soubory vyskytují dva typy úloh: Zjištění závislosti Y na X Zjištění hodnoty yk Y pro takové xk X, které není v tabule dat. 2 1,5 1 y = 0,4235x + 0,8894 0,5 R 2 = 0, Je to ale správně? 5 6

148 Příklad Pozor na hrubé chyby??? Mějme např. následující tabulku statistických dat: 3 2,5 Datům odpovídá následující rovinný graf: 2 1,5 Na první pohled je zřejmé: se zvětšující se hodnou X se zvětšuje i hodnota Y přibližně polovičním tempem. Jistá závislost je tedy patrná. V praxi se v souvislosti s dvourozměrnými statistickými soubory vyskytují dva typy úloh: Zjištění závislosti Y na X Zjištění hodnoty yk Y pro takové xk X, které není v tabule dat. 1 y = 0,4235x + 0,6794 R 2 = 0,9354 0, Odhadnuta hrubá chyba. Je to ale správně? 5 6

149 Příklad y = 0,9933x4-11,8x3 + 48,312x2-78,58x + 42,075 R2 = 1-3 Takto je to správně!!

150 Regresní funkce

151 Regresní funkce

152 Interpolace a Extrapolace

153 Interpolace Jsou zadány body x0,, xn a k nim funkční hodnoty y0,, yn. Lagrangeův interpolační polynom Ln je polynom stupně nejvýše n takový, že se jeho hodnota ve všech zadaných bodech x0,, xn rovná zadaným funkčním hodnotám y0,, yn.

154 Extrapolace Extrapolace je hledání hodnoty funkce v bodě x x0 nebo x xn. Při extrapolaci při rostoucí vzdálenosti od krajních bodů intervalu chyba roste rychle. Pro ekvidistantní uzly a vysoké stupně polynomu, má polynom mezi uzly tendenci oscilovat. Proto se polynomiální interpolace s ekvidistantními uzly používá v praxi pro n 7.