Vnitřní síly v prutových konstrukcích

Transkript

1 Vnitřní síly v prutových konstrukcích Síla je vektorová fyikální veličina, která vyjadřuje míru působení těles nebo polí. Zavedení síly v klasické Newtonově mechanice (popis pohybu těles) dp dv F = = m = dt dt ma Rodělení sil podle působu působení: např. gravitační, elastické, elektromagnetické, kapilární Rodělení sil ve fyice podle ákladní interakce hmotných objektů gravitační, elektromagnetická, silná, slabá

2 Síly působící na/v konstrukci ZATÍŽENÍ. Síly působící vnějšku na konstrukci. Jednotky N nebo N/m, N/m 2, N/m 3. (vi SM1) REAKCE. Síly působící ve vabách, které uvádějí do rovnováhy. Jednotky N. (vi SM1) VNITŘNÍ SÍLY, F. Integrální veličiny popisující aktuální stav namáhání daného místa konstrukce (průřeu). Jsou v rovnováe e atížením části prutu. Jednotky N. (SM2) NAPĚTÍ, σ. charakteristika namáhání bodu tělesa/prutu/konstrukce. Síla vtažená na jednotku plochy. Jednotky N/m 2. (vi Pružnost) F σ F = A Plocha průřeu, A σ da

3 Popis konstrukce (model, statické schéma) Modelování ahrnuje jednodušení a popis tvaru konstrukce. Model-Prostorový (těleso nebo prostorová prutová konstrukce) Plošný (deska, stěna) Rovinný prutový (rám, rošt) atížení pruty

4 Prut: konstrukční prvek, jehož jeden roměr (délka) převládá nad ostatními. h l >> h l >> b l b Průře: příčný ře prutu Střednice: čára tvořená těžišti průřeů prutu Pruty budeme modelovat jejich střednicí.

5 Prostorový prut - střednice je prostorová křivka nebo lomenáčára Rovinný prut - střednice je rovninná křivka nebo lomenáčára Primatický prut - přímý prut konstantního průřeu osa Obecný prut - akřivený, proměnného průřeu

6 Nosník = podepřený prut, atížený Př: Prostý nosník Prostý nosník s převislými konci Konolový nosník, konola, krakorec

7 Nosníky přímé obloukové lomené prutové soustavy, rámové konstrukce

8 prutové soustavy, rámové konstrukce prutové soustavy, roštové konstrukce

9 Základní fyikální stavy prutu- deformace a odpovídající síly Síly atížení Napětí v bodě průřeu Elementární síla df působící na jednotkovou plochu da Normálové napětí v bodě průřeu σ = df/da (N/m 2 ) Jaká je celková (vnitřní) síla působící v průřeu?

10 Tah/tlak da df R=F σ N N σ Celková (vnitřní) síla působící v průřeu N = σ da A F Pokud je napětí rovnoměrné, pak N = σ da = σ A A

11 Čistý ohyb M M σ σ da df Napětí je nerovnoměrné. Podle teorie pružnosti je lineární. Celkové (vnitřní) síly působící v průřeu N M = = A σ da = 0 A σ da

12 Ohyb+tlak/tah M N M da df σ 1 N + σ 2 σ 2 + σ 1 Napětí je nerovnoměrné. Celkové (vnitřní) síly působící v průřeu σ N = M = A A da σ da

13 Zavedení vnitřních sil na prutu rovnováhy sil Prut v rovnováe (reakce a atížení tvoří rovnovážnou soustavu sil) L P rodělíme fiktivním řeem na 2 části L a P

14 Zavedení vnitřních sil na prutu rovnováhy sil Aby každáčást byla v rovnováe, musí v řeu působit síly a momenty: P, P... Vyjadřuje účinek části P na L, uvádíčást L do rovnováhy L, L... Vyjadřuje účinek části L na P, uvádíčást P do rovnováhy L P P L L P Princip akce a reakce: P = - L P = - L Pon: P, P je ekvivalentní náhrada atížení, které působí na Pravéčásti P L, L je ekvivalentní náhrada atížení, které působí na Levéčásti L

15 Q y P Ve koumaném řeu avedeme lokální souřadný systém -y- ; osa tečna ke střednici, y, normály y M y Q N M P M Vniřní síly prutu Vektory P a P roložíme do složek: F P = N... normálová síla [N] F Py = Q y = V y... posouvající síla [N] F P = Q = V... posouvající síla [N] M P = M = T... kroutící moment [Nm] M Py = M y... ohybový moment [Nm] M P = M... ohybový moment [Nm]

16 Kladná orientace vnitřních sil + - Záporně orientovaný průře (vidíme e směru áporné poloosy ) y M y Q y Q M N M Kladně orientovaný průře (vidíme e směru kladné poloosy ) kladné vnitřní síly orientované shodně se souřadnicovými osami M M Q M N y Q y y kladné vnitřní síly orientované opačně než souřadnicové osy

17 Výpočet vnitřních sil pomocí podmínek rovnováhy V y N M M Q N Q y M y M y V M M Soustava sil v rovnováe na levéčásti Soustava sil v rovnováe na pravéčásti Sestavením podmínek rovnováhy (6) na jedné nebo druhéčásti ískáváme rovnice pro výpočet nenámých vnitřních sil

18 Alternativní výpočet vnitřních sil pomocí podmínek ekvivalence L M M Q N Q y M y Vnitřní síly na pravéčásti (na áporném průřeu) jsou ekvivalentní k veškerému atížení, které působí od ačátku konstrukce k danému řeu (na části L). P Pon. Také vnitřní síly na levéčásti (na kladném průřeu) jsou ekvivalentní k veškerému atížení, které působí od konce konstrukce k danému řeu (na části P).

19 Zatížení prutu/nosníku Pokud pruty modelujeme jejich střednicí Př.: A h 2 veškeré síly působící na konstrukci (atížení i reakce) redukujeme ke střednici A A F A A F F F rovina h 2 B B h/2 h/2 prostor F F b/2 b/2 F b 2

20 Příklad 1 f= 10 kn/m Příklad 2 C A B h b L/3 2/3 L F=100 kn Určete vnitřní síly v průřeech A, B, C.

21 Rovinný prut atížený v rovině Pokud: 1) střednice - rovinná křivka 2) vnější síly (atížení a reakce) - rovnovážná soustava v rovině střednice jednodušení vnitřních sil: Q y M = 0 = M = 0 podmínek rovnováhy oddělenéčásti y Μ Q N Vnitřní síly: N... normálová síla [N] Q = Q = V... posouvající síla [N] M y = M... ohybový moment [Nm]

22 Kladná orientace vnitřních sil M Q N N Q M Kladně orientovaný průře (vidíme e směru kladné poloosy ) Záporně orientovaný průře (vidíme e směru áporné poloosy )

23 Orientace lokálního souřadného systému (rovinná kce.) osa... vždy tečná ke střednici prutu osa... preferujeme ve směru emské tíže (shora dolu) nebo leva doprava - pravotočivá soustava souřadnic někdy též * "spodní" vlákna (stranu) prutů onačujeme čárkovanou čarou

24 Vnitřní síly na ákladních konstrukcích Prostý nosník Nosník s převislými konci Konola

25 Příklad

26 Výpočet vnitřních sil v daném průřeu prutu Určete vnitřní síly v průřeu a. F a f 1 1) Prut vyjmeme e soustavy a určíme všechny vnější síly na něj působící (atížení a reakce) F a F R1 f 2 A A B B

27 2) Prut rodělíme řeem a na části L a P a do řeu avedeme nenámé vnitřní síly. A A F a F R1 A A F L M Q N N M Q F R1 P B B B B 3) Vnitřní síly v řeu určíme podmínek rovnováhy všech sil působících na oddělenou část prutu L nebo P: L: A, A, F, N, Q, M... musí být v rovnováe P: B, B, F R1, N, Q, M... musí být v rovnováe * Ať použijeme část L nebo P, vnitř. síly N, Q, M musí vyjít stejně (akce a reakce) kontrola výsledku!

28 Příklad přímé konstrukce

29 Příklad: Vypočítejte vnitřní síly v řeech a, b, c dané konstrukce. F 2 = 2 kn a F 1 = 8 kn b f = 1.5 kn/m c (m) Reakce: (kn) 9

30 Průře a: Výpočet "leva" N a M a a 8 Q a 3 3 Na + 5 = 0 Na = 5kN Qa = 0 Qa = 4kN 8 4 M a = 0 M a = 0kNm 5 (m, kn)

31 Průře a: Výpočet "prava" Q a a 4 M a 3 Na = 0 Na = 5kN N a 2 2 Qa + 4 = 0 Qa = 4kN (m, kn) M a = 0 M a = 0kNm

32 Průře b: Výpočet "leva" 2 b M b N b Nb = 0 Nb = 4kN 8 8 Q b Qb = 0 Qb = 3kN M b = 0 M b = 0kNm 5 (m, kn)

33 Průře b: Rovnováha ve styčníku Q a 2 b a M a N a Q b M b N b (m, kn) Nb Qa = 0 Nb = Qa = 4kN Qb + Na + 2 = 0 Qb = Na 2 = 3kN M b M a = 0 M b = M a = 0kNm

34 Průře c: c M c N c 8 Q c Nc = 0 Nc = 4kN (m, kn) Qc = 0 Qc = 0kN M c = 0 M c = 3kNm

35 Průře c (alternativní výpočet): Q b 1.52 N b c M c N c M b 2 Q c (m, kn) Nc Nb = 0 Nc = Nb = 4kN Qc Qb + 3 = 0 Qc = Qb 3 = 0kN M c M b Qb = 0 M c = 3kN

36 Speciální případy

37