Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie.

Transkript

1 Slovní úlohy - řešené úlohy Úměra, poměr Úloha č. 1 Rozměry fotografie jsou a = 12 cm a b = 9 cm. Fotografii zvětšíme v poměru 5 : 3. Určete rozměry zvětšené fotografie. Každý rozměr zvětšíme tak, že jeho velikost vynásobíme poměrem podobnosti k = Nové rozměry fotografie: a = 12 = 20 cm b = 9 = 15 cm Zvětšená fotografie bude mít rozměry 20 cm a 15 cm. Úloha č. 2 Obvod trojúhelníku je 126 cm. Délky jeho stran jsou v poměru 2 : 3 : 4. Určete délky stran tohoto trojúhelníku. Nejprve sečteme počet dílů: = 9 Délka odpovídající 1 dílu: 126 : 9 = 14 cm Délky stran: a = = 28 cm b = = 42 cm c = = 56 cm Ještě si ověříme, že platí trojúhelníková nerovnost: = 70 > 56 cm. Trojúhelník má strany o délkách 28 cm, 42 cm, 56 cm. 1

2 Úloha č. 3 Vzdálenost dvou míst na mapě je 175 mm. Jejich vzdálenost ve skutečnosti je 70 km. Určete měřítko mapy. 70 km = m = cm : 17,5 = cm Měřítko mapy je 1 : Úloha č. 4 Dvě obce mají na mapě s měřítkem 1 : vzdálenost 85 mm. Vypočtěte vzdálenost těchto měst na mapě s měřítkem 1 : Skutečnou vzdálenost měst zjistíme z mapy s měřítkem 1 : cm 100 m 8,5 cm 850 m V dalším kroku vypočítáme vzdálenost měst na mapě s měřítkem 1 : cm 250 m 850 : 250 = 3,4 cm = 34 mm Na mapě s měřítkem 1 : jsou obce od sebe vzdáleny 34 mm. 2

3 Úloha č. 5 Tableta obsahuje mg účinné látky (léku). Kolik tablet podáme pacientovi, který bude potřebovat denní dávku 0,75 g léku? Oba údaje si nejprve vyjádříme pomocí stejné jednotky (mg) mg 0,75 g = 750 mg 750 : = 0,5 Pacientovi podáme polovinu tablety. Úloha č. 6 Víme, že 250 m silonového vlákna má hmotnost 4 g. Jak dlouhé bude totéž vlákno o hmotnosti 1 kg? Jedná se o úlohu řešenou pomocí přímé úměrnosti: 250 m.. 4 g x m g Sestavíme trojčlenku: = a následně použijeme křížové pravidlo: 4. = /:4 = = m = 62,5 km Silonové vlákno o hmotnosti 1 kg bude dlouhé 62,5 km. 3

4 Úloha č. 7 Sedm pracovníků splní úkol za 72 hodin. Za jak dlouho by úkol splnilo devět pracovníků? Jedná se o úlohu řešenou pomocí nepřímé úměrnosti: 7 pracovníků.. 72 h 9 pracovníků.. x h Sestavíme trojčlenku: = a vyjádříme neznámou : = = 56 h Devět pracovníků by úkol splnilo za 56 hodin. Úloha č. 8 Spotřeba benzínu osobního auta činila 8,8 litru na 100 km. Po opravě auta spotřeba klesla v poměru 9:11. Jaká je spotřeba auta po opravě? Spotřebu vozu před opravou vynásobíme poměrem 8,8 7,2 l Spotřeba vozu po opravě činila 7,2 litru. 4

5 Procenta Pamatujte si: 1 % = celku, Úloha č. 9 Původní cena výrobku byla Kč. Po snížení ceny výrobek stál Kč. O kolik procent byla původní cena snížena? původní cena a = Kč nová cena. a 1 = Kč rozdíl cen = Kč Při řešení využijeme vyjádření 1 % ze základu Kč: 100 % Kč 1 %...48 Kč Počet procent určíme tak, že rozdíl cen vydělíme 1 % : 48 = 25 % Původní cena byla snížena o 25 %. Úloha č. 10 Cena výrobku x = Kč byla nejprve zvýšena o 10 % a později snížena o 20 % nové ceny. Jaká je jeho konečná cena? zvýšení ceny o 10 % 110 % = 1,10 celku snížení ceny o 20 % 80 % = 0,80 celku původní cena a = Kč cena po zdražení. a 1 = ,1 = Kč cena po zlevnění. a 2 = ,8 = 880 Kč Konečná cena výrobku je 880 Kč. 5

6 Úloha č. 11 Elektrické vedení je dlouhé 5,3 km. Na prohnutí drátů a spojování je nutno přidat 3,25 % délky. Kolik metrů drátu potřebují montéři, má-li vedení osm drátů? Nejprve spočítáme celkovou délku d všech drátů elektrického vedení bez rezervy na prohnutí. d = 5,3. 8 = 42,4 km Přidáme rezervu: 100 % + 3,25 % = 103,25 % (což představuje 1,0325 základní délky elektrického vedení) d 1 = 42,4. 1,0325 = 43,778 km = m Montéři potřebují na vedení m drátů. Úloha č. 12 Automobil jel rychlostí 75 km/h, cyklista rychlostí 5 m/s. Kolik procent rychlosti automobilu činí rychlost cyklisty? automobil 75 km.h -1 cyklista. 5 m.s -1. 3,6 = 18 km.h -1 počet procent = čá p = = 0,24 = 24 % Rychlost cyklisty činí 24 % rychlosti automobilu. 6

7 Úloha č. 13 O kolik procent se zmenší objem krychle, zmenšíme-li její hranu o 20 %? Zmenšíme-li délku hrany a krychle o 20 %, bude mít 80 % původní délky, tj. 0,8.a. Původní krychle o straně a má objem: V = a 3 Zmenšená krychle o straně a 1 = 0,8.a má objem: V 1 = (a 1 ) 3 = (0,8.a) 3 = 0,512.a 3 V 1 = 0,512.V = 51,2 %. V Objem zmenšené krychle představuje 51,2 % objemu původní krychle. 100 % 51,2 % = 48,8 % Objem krychle se zmenší o 48,8 %. Úloha č. 14 Zboží stojí Kč včetně 21% daně z přidané hodnoty (DPH). Vypočtěte cenu zboží bez DPH. Cena zboží bez DPH představuje základ tj. 100 % Kč 121 % x Kč 100 % x = : 1,21 = Kč Cena zboží bez DPH je Kč. 7

8 Úloha č. 15 Pan Novák si na začátku roku 2014 uložil do spořitelny Kč na 3% úrok. Vypočtěte, kolik korun bude mít na účtu na konci roku 2014 a kolik o další rok později. na konci roku 2014 a 1 = , = 1, = Kč na konci roku 2015 a 2 = , = 1, = Kč Úloha č. 16 V mořské vodě je přibližně 3,5 % soli. Kolik soli zbude po odpaření 10 kg mořské vody? 3,5 % soli představuje 0,035 celku x = 10. 0,035 = 0,35 kg Po odpaření 10 kg mořské vody zůstane 0,35 kg soli. Úloha č. 17 Krevní zkouškou bylo zjištěno v krvi řidiče 0,5 promile alkoholu. Kolik je to gramů, je-li v těle člověka přibližně 6 kg krve? 1 promile ( ) celku = 0,001 celku 0,5 = 0,0005 celku 0, = 0,003 kg = 3 g V těle řidiče jsou přibližně 3 g alkoholu. 8

9 Úloha č. 18 Číslo 72 zvětšete o 25 %. O kolik procent budete muset číslo, které vám vyšlo zmenšit, abyste opět obdrželi číslo 72? číslo 72 zvětšené o 25 % 1, = % 72.. p % Sestavíme trojčlenku: = v dalším řešení vyjádříme neznámou p: p = = 80 % 100 % 80 % = 20 % Číslo 72 představuje 20 % z čísla 90. Úloha č. 19 Čerstvé houby obsahují 90 % vody, sušené 12 % vody. Vypočtěte, kolik čerstvých hub je třeba nasbírat, abychom získali 3 kg sušených hub. 3 kg sušených hub obsahují 12 % vody = 88 % sušiny 0,88. 3 = 2,64 kg sušiny x kg čerstvých hub obsahuje 90 % vody = 10 % sušiny 2,64 kg.. 10 % x kg % Sestavíme trojčlenku: 9

10 = v dalším řešení použijeme křížové pravidlo a vyjádříme neznámou: = = 26,4 kg Musíme nasbírat 26,4 kg čerstvých hub. Úloha č. 20 Prodejna má sjednaný podíl na zisku (tzv. rabat) ve výši 15 % z prodejní ceny výrobku, jež představuje 120 % jeho výrobní ceny. Kolik procent z výrobní ceny činí zisk prodejny? a výrobní cena b prodejní cena z zisk prodejní cena představuje 120 % výrobní ceny: b = 1,20.a zisk ve výši 15 % z prodejní ceny: z = 0,15.b z = 0,15. (1,20. a) = 0,18. a Zisk prodejny činí 18 % z výrobní ceny. 10

11 Úloha č. 21 Stoupání, resp. klesání u silnic je udáváno v procentech, zatímco u železničních tratí v promile. Vypočteme ho jako poměr svislého převýšení a vodorovné vzdálenosti obou míst (na mapě, plánu). a) Vypočtěte, kolik metrů tvoří převýšení silnice mezi dvěma místy silnice vzdálenými ve vodorovném směru 850 m, je-li stoupání (resp. klesání) silnice mezi těmito místy 10 %. b) Určete stoupání (resp. klesání) železniční trati, je-li její výškový rozdíl mezi dvěma stanicemi 9 m při jejich vzdálenosti ve vodorovném směru 1,5 km. a) x m 850 m 10 % = 0,10 = x = ,10 = 85 m Převýšení silnice činí 85 m. b) 9 m 1,5 km = m 11

12 promile... 1 = celku x ( ) = x = 0,006 = 6 Železniční trať stoupá (klesá) o 6. Slovní úlohy řešené pomocí lineárních rovnic Úloha č. 22 Přičteme-li k hledanému číslu jeho třetinu, dostaneme číslo 48. Určete neznámé číslo. Hledané číslo označíme jako a sestavíme příslušnou rovnici. Je dobré uvědomit si, že k hledanému číslu přičteme jeho třetinu, tzn. (nikoli pouze. Hledané číslo je

13 Úloha č. 23 Ve třídě je 29 žáků, z toho o 5 chlapců méně než dívek. Kolik je ve třídě chlapců? Počet chlapců ve třídě označíme jako Dále vyjádříme počet dívek, kterých je o 5 více než chlapců, a sestavíme příslušnou rovnici. počet chlapců... počet dívek... / 5 /:2 Ve třídě je 12 chlapců (a 17 dívek). Úloha č. 24 Ze třídy se rozhodla čtvrtina žáků studovat na VOŠ. Později se přihlásili ještě 3 další žáci. Celkem jich tak bylo 11. Kolik žáků je ve třídě? Počet žáků ve třídě označíme jako a sestavíme příslušnou rovnici. Ve třídě bylo 32 žáků. 13

14 Úloha č. 25 Za nákup 2,5 kg pomerančů a 1,5 kg jablek se zaplatilo celkem 85 korun. Kilogram jablek je o 2 koruny levnější než kilogram pomerančů. Vypočtěte, kolik korun se zaplatilo za pomeranče. Úlohu budeme řešit pomocí soustavy 2 lineárních rovnic. cena za 1 kg pomerančů... Kč cena za 1 kg jablek... Kč /:4 /+3 Spočítali jsme, že za 1 kg pomerančů bylo zaplaceno 22 Kč. 2,5. 22 Kč = 55 Kč Za 2,5 kg pomerančů bylo zaplaceno 55 Kč. Úloha č % z neznámého čísla je o 12 méně než 23 % z téhož čísla. Určete neznámé číslo. Neznámé číslo označíme jako x a zadání přepíšeme pomocí matematického zápisu: Neznámé číslo je

15 Úloha č. 27 Ve třídě 1. A se psala čtvrtletní práce z matematiky. Desetina žáků dostala jedničku, třetina dostala dvojku. Trojku dostaly čtyři patnáctiny žáků a čtyřku pětina žáků. Kolik žáků psalo čtvrtletní práci, když pětku dostali tři z nich? Celkový počet žáků označíme jako a sestavíme příslušnou rovnici. / / Čtvrtletní práci psalo 30 žáků. Úloha č. 28 Ze 2 druhů čaje v ceně 300 Kč za 1 kg a 420 Kč za 1 kg se má připravit 20 kg směsi v ceně 330 Kč za 1 kg. Kolik kg každého druhu čaje je třeba smíchat? Cena čajové směsi: Kč Úlohu budeme řešit pomocí soustavy 2 lineárních rovnic. počet kg levnějšího čaje... počet kg dražšího čaje... rovnice vyjadřující cenu čaje rovnice vyjadřující hmotnost čaje řešení soustavy rovnic dosazovací metodou /: 15

16 kg kg Je třeba smíchat 15 kg levnějšího a 5 kg dražšího čaje. Úloha č. 29 První traktorista zorá lán pole za 10 hodin, druhý traktorista zorá stejně velké pole za 15 hodin. Za kolik hodin zorají toto pole, budou-li pracovat společně? Základní typ úlohy o společné práci.... část pole, kterou by první traktorista zoral za hodin... část pole, kterou by druhý traktorista zoral za hodin Budou-li oba traktoristé pracovat společně po dobu hodin, zorají celé pole (celek): /: Úlohy o společné práci vedou k řešení typické rovnice, ve které je na pravé straně číslo 1 vyjadřující celek vytvořený společnou prací. Traktoristé společně zorají pole za 6 hodin. 16

17 Vyjadřování neznámé ze vzorce Úloha č. 30 a) Ze vzorce pro dráhu rovnoměrného pohybu vyjádřete rychlost. Řešíme jako rovnici o neznámé /: b) Ze vzorce pro objem kvádru vyjádřete délku hrany Řešíme jako rovnici o neznámé /: ) c) Ze vzorce pro obsah lichoběžníku vyjádřete délku základny. Řešíme jako rovnici o neznámé /: 17