Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Transkript

1 Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 5: Měření teploty wolframového vlákna Datum měření: Doba vypracovávání: 12 hodin Skupina: 1, pátek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. DÚ: Z Planckova vyzařovacího zákona odvoďte Stefan-Boltzmannův zákon a určete tvar konstanty σ pomocí c, k a ħ. 2. Ocejchujte referenční žárovku pomocí měření odporu. Diskutujte, zda α v rovnici (9) v [1] je konstanta. Výsledky zpracujte graficky. Ověřte správnost výsledků pomocí závislosti výkonu na čtvrté mocnině teploty. Pomocí fitu určete konstantu β. 3. Ověřte Stefan-Boltzmannův zákon (5) v [1], výsledky vyneste do grafu a určete konstantu ε. 4. Zjistěte teploty žárovek (alespoň 6 měření) pomocí závislosti transmise na vlnové délce. Graficky zpracujte a teploty žárovek získejte pomocí fitu závislosti intenzity na vlnové délce I = I(λ). 2 Pomůcky Pulfrichův fotometr, zdroj napětí 0 30 V, wolframová vlákna (dvě světelné žárovky), multimetr, ohmmetr, zdroj referenčního napětí. 3 Teoretický úvod Elektromagnetická energie se může vyzařovat pouze po kvantech. Pro energii jednoho kvanta E 1 platí vztah E 1 = hω = ħ λ, (1) kde ω je úhlová frekvence záření, λ vlnová délka záření a h (ħ) je (redukovaná) planckova konstanta. Planckův vyzařovací zákon vyjadřuje závislost intenzity záření I absolutně černého tělesa na úhlové frekvenci záření ω vztahem di = ħ ω 3 4π 2 c 2 e ħω dω, (2) kt 1 kde ω je úhlová frekvence záření, ħ je redukovaná planckova konstanta, c je rychlost světla, T je teplota absolutně černého tělesa a k značí Boltzmannovu konstantu. Integrací vztahu (2) lze následně odvodit Stefan-Boltzmannův zákon. 1

2 I = + ħ ω 3 4π 2 c 2 e ħω dω 0 kt 1 I = + ħ 4π 2 c = ħ 4π 2 c 2 ω 3 0 e ħω kt 1 dω = + x = ħω kt ω = ktx ħ dx = ħ kt dω dω = kt ħ dx = x3 k 4 T 4 e x 1 ħ 4 dx = k4 T 4 4ħ 3 π 2 c 2 x3 e x 1 dx = π 2 k 4 60ħ 3 c 2 T4 Stefan-Boltzmannův zákon říká, že intenzita vyzařování černého respektive šedého tělesa roste se čtvrtou mocninou jeho teploty. Tedy 0 I = σt 4, resp. I = εσt 4, (3) kde ε je emisivita povrchu tělesa, vyjadřující skutečnost, že nepracujeme s absolutně černým tělesem a kde σ je Stefan-Boltzmannova konstanta odvozena výše a je rovna σ = π2 k 4 60ħ 3 c 2 5, Wm 2 K 4. (4) Rovnici (3) lze pomocí výkonu, jakožto součinu napětí a proudu přepsat do tvaru kde β je konstanta. P = UI = βt 4, (5) Dosadíme-li do Planckova vyzařovacího zákona za frekvenci vlnovou délku a prointegrujeme přes všechny vlnové délky, dostáváme pro intenzitu vztah I = 2hc2 1 λ 5 e hc. (6) λkt 1 Wienův posunovací zákon říká, že maximální energie záření vlnové délky absolutně černého tělesa se s jeho rostoucí teplotou posouvá ke kratším vlnovým délkám neboli kde b 2,898 K mm je Wienova konstanta. λ max = b T, (7) Transmise T je poměr světelných intenzit I před a po absorpci tělesem. S využitím absorpčního koeficientu δ λ a znalosti tloušťky vrstvy l, skrz kterou světlo prochází, ji můžeme vypočítat jako T = I 0λ I λ = e δ λl. (8) Měříme-li intenzitu záření žárovky skrz poměry transmisivit měřené a referenční žárovky, jsou transmisivity nastaveny tak, aby intenzita záření I λ po absorpci byla stejná, tedy T měř T ref = Pro výpočet intenzity záření měřené žárovky tedy platí vztah kde druhá rovnost plyne ze vztahu (6). T měř I měř = I ref = 2hc2 1 T ref λ 5 e hc λkt 1 I měř I λ I měř =. I (9) ref I ref I λ T měř Ohmův zákon dává do úměry proud I, napětí U a odpor R vodiče vztahem T ref, (10) R = U I. (11) Závislost odporu vodiče na změně teploty o T = T T 0 teplotě lze vyjádřit vztahem 2

3 R = R 0 (α T + 1), (12) kde R 0 je odpor při teplotě T 0 a α je konstanta nazývající se teplotní součinitel elektrického odporu. V případě wolframu je α = 4, K 1. Pro teplotu T za odporu R vyjádřením ze vzorce (11) můžeme psát 4 Postup měření T = R + αr 0T 0 R 0 αr 0. (13) Na optické lavici se nacházela již sestavená aparatura v podobě Pulfrichova fotometru, kondenzorů a obou žárovek. Nejprve jsme držáky kondenzorů a žárovek posunovali tak, abychom viděli dva ostré obrazy vlákna žárovek na stupnici byl nastaven filtr 12. Uspořádání jsme zafixovali šrouby a do kondenzorů vsunuli matné desky. Poté jsme k jedné žárovce připojili ohmmetr a změřili její vnitřní odpor R 0. Tuto referenční žárovku jsme pak připojili k regulovatelnému zdroji, ampérmetru a voltmetru a proměřili její voltampérmetrovou charakteristiku pro hodnoty napětí od 5 do 8 V. Následně jsme zapojili referenční zdroj napětí ke druhé měřené žárovce a pomocí Pulfrichova fotometru zaznamenávali ty hodnoty transmisí na referenční i měřené žárovce pro filtry 1-10 a pro napětí od 5-7 V, kdy intenzita vyzařovaného světla z referenční i měřené žárovky byla dle našeho oka stejná. 5 Naměřené hodnoty 5.1 Cejchování žárovky, Stefan-Boltzmannův zákon Jelikož v místnosti nebyl teploměr, budeme brát teplotu T 0 = 22. Odpor žárovky R 0 jsme změřili na R 0 = (0,1 ± 0,05) Ω. Vzhledem k velké chybě měření tohoto měření, budeme odpor R 0 i ostatní naměřené veličiny nadále uvažovat bez chyby viz. diskuse. V příloze v tabulce číslo 1 jsou uvedeny naměřené hodnoty napětí a proudu a dále vypočtené hodnoty odporu R pomocí vzorce (11), hodnoty teploty T pomocí vzorce (13), hodnoty výkonu P pomocí vzorce (5), hodnoty λ max vypočtené pomocí vzorce (7) a hodnoty intenzity záření vypočtené pomocí vzorce (6) pro vlnové délky ze vztahu (7). Na obrázku 1 je znázorněna změřená data proudu a napětí. Obrázek 1: Závislost proudu na napětí. 3

4 Na obrázku 2 je znázorněna závislost výkonu P na čtvrté mocnině teploty T. Obrázek 2: Závislost výkonu na teplotě. Fitováním vztahu P = βt 4 přes parametr β jsme obdrželi β = (2,44 ± 0,04) WK 4. Na obrázku 3 je znázorněna závislost intenzity záření I na teplotě T daná vztahem (3). Obrázek 3: Závislost I na T. Fitováním rovnice (3) přes emisivitu ε jsme obdrželi hodnotu ε = (3,81 ± 0,07) 10 6, což je nesmysl a značí chybu v teorii viz. diskuse. 5.1 Získávání teploty žárovky V příloze v tabulce 2 je uvedena propustnost vlnových délek filtrů V příloze v tabulkách 3-8 jsou uvedeny naměřené hodnoty transmise na měřené žárovce a na referenční žárovce pro jednotlivé filtry 1-10 pro šest různých přiváděných napětí na referenční žárovku a dále vypočtené hodnoty teploty referenční žárovky dle vztahu (13). 4

5 Pro výpočet teploty měřené žárovky musíme znát intenzitu vyzařování měřené žárovky. Tu vypočteme ze vztahu (10), kdy za vlnovou délku λ dosazujeme propustnou vlnovou délku dle použitého filtru. Následným fitem přes parametr T rovnice (6) zjistíme teplotu žárovky. 6 Diskuse Jednotlivé fity teplot jsou vyobrazeny na obrázcích 4-9 v příloze. V tabulce 9 jsou uvedeny nafitované teploty s chybou měřené žárovky. T [K] σ T [K] T [K] 1947 ± 133 Tabulka 9: Teplota měřené žárovky Hodnotu odporu wolframového vlákna jsme určili z naměřených dat proudu a napětí na žárovce skrze pomocí Ohmova zákona. Hodnotu odporu R 0 jsme pomocí ohmmetru změřili na hodnotu R 0 = (0,1 ± 0,05) Ω. Tato naměřená hodnota je zatížena dost velkou chybou, která se promítla do dalšího zpracování dat, a ukázalo se, že jejím následkem je skoro 100% relativní chyba výsledné teploty T spočítané vzorcem (13). Z tohoto důvodu jsme chyby u tohoto měření nezkoumali. V případě lepšího změření odporu R 0 by se do výsledné chyby mohl projevit i fakt, že teplotní součinitel elektrického odporu α je pouze prvním členem Taylerova rozvoje, a tak se pro velké rozdíly teplot již nebude jednat o konstantu. V našem případě to je zcela zanedbatelný poznatek. Fitováním rovnice (5) skrz parametr β jsme určili hodnotu β = (2,44 ± 0,04) WK 4. Z obrázku 2 je vidět, že fit přesně neodpovídá naměřeným hodnotám, což je způsobeno hlavně velkou chybou teplot. I přesto bych to považoval za úspěch a závislost výkonu na čtvrté mocnině teploty je patrná. Ověření Stefan-Boltzmannova zákona v podobě rovnice (3) se nepodařilo. Fit vyobrazený na obrázku 3 sice závislost intenzity záření na čtvrté mocnině teploty vykazuje, ovšem vypočtená konstanta ε = (3,81 ± 0,07) 10 6 má od intervalu (0,1) daleko. Příčinu selhání bych viděl v teorii úlohy, kdy intenzita v rovnici (6) má jiný rozměr než intenzita ve Stefan-Boltzmannově zákoně v rovnici (3), a tedy nelze takovýmto stylem data zpracovávat/fitovat. Ze zjištěných poměrů transmisí na jednotlivých žárovkách a znalosti intenzity vyzařování referenční žárovky, jsme byli schopni poměrně přesně určit teplotu neznámé žárovky fitováním závislosti intenzita na vlnové délce I = I(λ). Teplotu jsme tak určili na T = (1947 ± 133) K. Opět je zde ovšem třeba myslet na velice špatně změřený odpor R 0, které měření zatěžuje velkou chybou. Během měření ani během zpracování jsme nezaznamenali problém s údajně problémovým filtrem 2. 7 Závěr Fitováním rovnice (5) přes parametr β jsme určili hodnotu β = (2,44 ± 0,04) WK 4. Stefan-Boltzmannův zákon se nám ověřit nepodařilo, pravděpodobně z důvodu jiných rozměrů jednotek intenzit v rovnici (6) a (3). Teplotu měřené žárovky jsme určili na T = (1947 ± 133) K. 5

6 8 Reference [1] Návod Měření teploty wolframového vlákna. URL: /mod_resource/content/14/Wolfram-2016-Mar-02.pdf [Citace ] [2] Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy str. 154; Fořtová, nakl. Prometheus, 2011, Dotisk 1. vydání. 6

7 9 Příloha V tabulce 1 jsou uvedeny naměřené hodnoty napětí a proudu a dále vypočtené hodnoty odporu R pomocí vzorce (8), hodnoty teploty T pomocí vzorce (12), hodnoty výkonu P pomocí vzorce (5) a hodnoty λ max vypočtené pomocí vzorce (6). U [V] I [A] R [Ω] P [W] T [K] λ [nm] I [GWm 2 ] 4,86 5,61 0,87 27, ,05 5,72 0,88 28, ,30 5,85 0,91 31, ,57 6,01 0,93 33, ,65 6,04 0,94 34, ,91 6,18 0,96 36, ,18 6,33 0,98 39, ,38 6,43 0,99 41, ,42 6,47 0,99 41, ,68 6,59 1,01 44, ,95 6,73 1,03 46, ,14 6,82 1,05 48, ,29 6,91 1,05 50, ,41 6,96 1,06 51, ,50 7,01 1,07 52, ,65 7,09 1,08 54, ,76 7,14 1,09 55, ,95 7,25 1,10 57, Tabulka 1: Naměřené hodnoty U, I. Vypočtené hodnoty R, P, T, λ. V tabulce 2 jsou uvedeny propuštěné vlnové délky filtrů. Filtry propouští obor vlnových délek v rozsahu nm. Ve výpočtech uvažujeme střední hodnotu uvedenou v tabulce. Číslo filtru λ [nm] Tabulka 2: Propouštěné vlnové délky filtrů. 7

8 V tabulkách 3-8 jsou uvedeny naměřené hodnoty transmise na měřené žárovce a na referenční žárovce pro jednotlivé filtry 1-10 pro šest různých přiváděných napětí na referenční žárovku a dále vypočtené hodnoty teploty referenční žárovky dle vztahu (13). I = 5,7 A U = 5,3 V T = 1866 K Tabulka 3: Transmise 1 I = 6,2 A U = 6,2 V T = 2022 K Tabulka 6: Transmise 4 I = 5,8 A U = 5,6 V T = 1945 K Tabulka 4: Trasnmise 2 I = 6,4 A U = 6,5 V T = 2056 K Tabulka 7: Transmise 5 I = 6,0 A U = 5,9 V T = 1985 K Tabulka 5: Transmise 3 I = 6,6 A U = 6,9 V T = 2123 K Tabulka 8: Transmise 6 8

9 Na obrázcích 4 9 jsou vyobrazeny jednotlivé fity závislosti I na λ. Obrázek 4: Závislost I na λ. T=1762K. Obrázek 5: Závislost I na λ. T=1842K. Obrázek 6: Závislost I na λ. T=1925K. 9

10 Obrázek 7: Závislost I na λ. T=1976K Obrázek 8: Závislost I na λ. T=2052K Obrázek 9: Závislost I na λ. T=2123K. 10